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第3章 离散时间信号与系统的频域分析_图文

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第3章 离散时间信号与系统的频域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 序列的傅立叶变换 序列的Z变换 Z变换的基本性质和定理 逆Z变换 Z变换、傅立叶变换、拉普拉斯变换的关系 系统函数与频率响应

信号和系统的分析方法有两种,即时域分析方法 和频率分析方法。 在模拟领域中,信号一般用连续变量时间t的函数 表示,系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分 析,用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换 到频率域。 在时域离散信号和系统中,信号用序列表示,其 自变量仅取整数,非整数时无定义,而系统则用差分 方程描述。

2014-1-5

2

频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学 工具进行分析。其中傅里叶变换指的是序列的傅 里叶变换,它和模拟域中的傅里叶变换是不一样 的,但都是线性变换,很多性质是类似的。

本章学*序列的傅里叶变换和Z变换,以及利 用Z变换分析信号和系统的频域特性。本章学* 内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。

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3

3.1 序列的傅里叶变换
3.1.1 序列傅里叶变换的定义 定义
X (e ) ?
j? n ??? ?

?

x ( n )e? j? n

3-1

为 序 列 x(n) 的 傅 里 叶 变 换 , 可 以 用 FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条 件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足下式:

n ???
2014-1-5 4

?

?

x(n) ? ?

3-2

为求FT的反变换,用ejωm 乘(3-1)式两边, 并在[ -π,π]内对ω进行积分,得到

??
?

?

X ( e )e

j?

j? m

d? ? ? ?

?

??

m [ ? x ( n )e ? j? n ]e j? n d ?
n ???

?

n ???

?

?

x(n ) ?

?

??

e j? ( m ?n )d?
3-3 3-4

式中 因此

??
?

?

e j? ( m ?n ) d? ? 2?? ( n ? m )

1 x(n) ? 2?

??
?

?

n X ( e j? )e j? m d?

上式即是FT的逆变换。

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5

??
?

?

X ( e )e

j?

j? m

d? ? ?

?

??

[ ? x ( n )e ? j? n ]e j? n d ?
n ??? ?

?

??
?

?

? ? ? x ( n ) ? e j? ( m ?n )d? ?? ??? X (e j? ) ? n? x (n )e ? j? n

?

3-1

e

j? ( m ? n )

d? ? 2?? ( n ? m )
?
? m X ( e j? )e j?n d?

n ???

1 x(n) ? 2?

??

3-4

(3-1)和(3-4)式组成一对傅里叶变换公式。 (3-2)式是FT存在的充分必要条件,如果引入冲 激函数,一些绝对不可和的序列,例如周期序列, 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,这 部分内容在下面介绍。
2014-1-5 6

例 2-1 设x(n)=RN(n), 求x(n)的FT
解: X ( e j? ) ?

n ???

?

?

RN ( n )e ? j? n ? ? e ? j? n
n ?0

N ?1

1 ? e j? N e j? N / 2 ( e ? j? N / 2 ? e j? N / 2 ) ? ? ? j? N / 2 j? / 2 ? j? 1? e e (e ? e ? j? / 2 ) ? j ( N ?1)? / 2 sin(? N / 2) ?e sin ? / 2

3-5

设N=5, 幅度与相位随ω变化曲线如图3-1所示。
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图 3-1 R5(n)的幅度与相位曲线
2014-1-5 8

3.1.2 傅里叶变换的性质
1.周期性 序列x(n)傅里叶变换定义(3-1)式中, n取整 数, 因此下式成立
X (e ) ?
j?

n ???

?

?

x ( n ) e? j ( ? ? 2? M ) n ,

M为整数

3-6

因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函 数,周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数, 其实(3-1)式已经是傅里叶级数的形式,x(n)是其 系数。
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2.线性
X 1 ( e j? ) ? FT [ x1 (n )], X 2 (e j? ) ? FT [x 2 (n )], 设 FT [ax1 (n ) ? bx2 (n )] ? aX 1 (e j? ) ? bX 2 (e j? )

3-7

式中a, b为常数

3. 时移与频移 设X(ejω)=FT[x(n)], 则
FT [ x ( n ? n0 )] ? e ? j? n0 X ( e j? ) FT [e j?0n x ( n )] ? X ( e j (? ??0 )
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3-8 3-9
10

4. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
3-10

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11

5. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)· h(n)
1 1 j? j? Y (e ) ? X (e ) * H (e ) ? 2? 2?
j?

??
?

?

X ( e j? ) H ( e j (? ?? ) )d?
3-11

证明 Y (e j? ) ?
?
j?

n ???

?
?

?

x (n )h(n )e ? j? n 1 x ( n )[ 2?

n ???

?

??
?

?

H ( e j? )e j? n d? ]e ? j? n

? 1 ? j? Y (e ) ? H (e )[ ? x ( n )e ? j (? ?? ) n ]d? 2? ??? n ??? 1 ? ? H ( e j? ) Xe j (? ?? )d? 2? ??? 1 ? H (e j? ) * H ( e j? ) 2?

12

6. 帕斯维尔(Parseval)定理
n ???

? ?
?

?

1 x(n ) ? 2?
2

2

??
?

?

x(e

j? 2

d?

3-12

证明

x(n ) ?

n ???

n ???

?

?

x (n ) x (n ) ?
*

1 ? 2? 1 ? 2?

??
?

?

X ( e j? ) ? x ? ( n )e j? n d?
n ??? *

n ??? ?

?

?

1 x (n )[ 2?
*

??
?

?

X (e j? )e j? n d ? )]

??
?

?

1 X ( e ) X ( e )d ? ? 2?
j? j?

??
?

?

X (e ) d?

j?

2

帕斯维尔定理告诉我们,信号时域的总能量等 于频域的总能量。要说明一下,这里频域总能量是 指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。
13

7. 对称性 1)时域序列x(n)情况 定义:满足 3-13 xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说,这一条 件变成xe(n)=xe(-n),即xe(n)为偶对称序列。 对于一般的复序列可表示为 3-14 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 即实部与虚部和的形式。上式中用-n代替n,并取共轭, 得
* xe (?n) ? xer (?n) ? jxei (?n)

3-15

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14

由(3.13)式知,(3.14)式和(3.15)式左右两边相等, 因此得到 3-16 xer(n)= xer(-n) xei(n)= - xei(-n) 3-17

即共轭对称序列的实部是偶函数,虚部是奇函数。

类似地,定义满足

xo (n) ? ? x (?n)
* o

3-18

的序列xo(n)为共轭反对称序列。对于实序列来说,这 一条件变成xo(n)=-xo(-n),即xo(n)为奇对称序列。
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对于一般的复序列xo(n)可表示为 xo(n) = xor(n) + jxoi(n) 用-n代替n,并取共轭,得
3-19

x (?n) ? xor (?n) ? jx oi (?n)
* o

3-20

比较(3.19)式和(3.20)式,并利用(3.18),得到 3-21 xor(n)= - xor(-n) xoi(n) = xoi(-n) 3-22 即共轭反对称序列的实部是奇函数,虚部是偶函数。

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16

例 :试分析x(n)=e jωn的对称性 解:x*(-n)= e jωn 因此x(n)=x*(-n),满足(3-13)式,x(n)是共轭对称 序列。 将x(n)展成实部与虚部,则 x(n)=cosωn+j sinωn
显然,共轭对称序列的实部确实是偶函数,虚部 是奇函数。

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17

利用共轭对称序列和共轭反对称序列,可将一 般序列表示成表示为这两种序列之和的形式,即 3-23 x(n)=xe(n)+xo(n) 式中共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)可由 原序列求出。用-n代替n,并取共轭,得 3-24 x*(-n)=xe(n)-xo(n) (3.23)式与(3.24)式联立求解,得原序列x(n)的共轭 对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)分别为
1 xe (n ) ? [ x(n ) ? x ? ( ?n )] 2 1 xo (n ) ? [ x (n ) ? x ? ( ?n )] 2
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3-25

3-26

18

7. 对称性(续1) 2) 频域函数X(ejω)的情况 一个序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)也可分解成共轭 对称分量与共轭反对称分量之和: X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) 3-27 其中Xe(ejω)是X(ejω)的共轭对称部分,Xo(ejω)是X(ejω)的 共轭反对称部分。分别满足

X e (e ) ? X (e
* e

j?

? j?

)

3-28

* X o (e j? ) ? ? X o (e ? j? )

3-29

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19

同样有下面的公式
1 X e (e ) ? [ X (e j? ) ? X * (e ? j? )] 2 1 j? X o (e ) ? [ X (e j? ) ? X * (e ? j? )] 2
j?

3-30

3-31

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20

7. 对称性(续2) 3) 序列傅立叶变换的情况 首先讨论序列x(n)分成实部与虚部的情况。先将 序列x(n)分成实部与虚部 x(n) = xr(n) + jxi(n) 上式进行FT,得

X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
式中

3-32

X ( e ) ? FT [ xr ( n )] ?
e

j?

n ???

?

?

xr (n )e ? j? n
?

X o ( e j? ) ? FT [ jxi ( n )] ? j ? xir (n )e ? j? n
n ???

X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
式中

3-32

X ( e ) ? FT [ xr ( n )] ?
e

j?

n ???

?

?

xr (n )e ? j? n
?

X o ( e j? ) ? FT [ jxi ( n )] ? j ? xir (n )e ? j? n
n ???

-容易证明Xe(ejω)满足(3-28)式,具有共轭对称性; Xo(ejω)满足(3-29)式,具有共轭反对称性质。 -最后得到结论:序列分成实部与虚部,则实部对 应的FT具有共轭对称性,虚部(含j)一起对应的FT 具有共轭反对称性。

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22

其次讨论序列x(n)分成共轭对称部分与共轭 反对称部分的情况。 先将序列x(n)分成共轭对称部分与共轭反对 称部分 x(n)=xe(n)+xo(n) 将(3-25)式和(3-26)式重写一遍如下: 1 ? xe (n ) ? [ x(n ) ? x ( ?n )] 2 1 xo (n ) ? [ x (n ) ? x ? ( ?n )] 2
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将上面两式分别进行FT, 得到 FT[xe(n)]=1/2[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω) FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω) 可以求出x(n) =xe(n)+xo(n)的FT,得 X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

3-33

即序列x(n)的共轭对称部分xe(n)的傅里叶变换对应着 X(ejω)的实部XR(ejω),共轭反对称部分xo(n)的傅里叶 变换对应着X(ejω)的虚部jXI(ejω) 。

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24

例 利用傅里叶变换的对称性,分析实因果序列h(n) 的傅里叶变换H(ejω)的对称性。
解:因为h(n)是实序列,其傅里叶变换只有共轭 对称部分He(ejω)(实部对应),共轭反对称部分为 零(虚部对应)。 H(ejω)=He(ejω) H(ejω)=H*(e-jω) 由此推出,实序列的傅里叶变换的实部是偶函数, 虚部是奇函数,用公式表示为 HR(ejω)=HR(e-jω) HI(ejω)=-HI(e-jω)
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显然其模的*方|H(ejω)|2=

2 H R (e j? ) ? H I2 (e j? ) 是偶函数,

相位函数 arg[H(ejω)]=arg tan[HI(ejω)/HR(ejω)] 是奇函数。 此外,对于实序列而言,由式(3-25)和(3-26)得

1 * he (n) ? [h(n) ? h(?n)] 2 * 1 ho (n) ? [h(n) ? h(?n)] 2
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1 he (n) ? [h(n) ? h(?n)] 2 1 ho (n) ? [h(n) ? h(?n)] 2
26

因为h(n)是因果序列,利用上面两式可求得
h(o), n?0

he ( n ) ?

1 h( n ), n ? 0 2 1 h( ?n ), n ? 0 2 h (o ), 0 n?0 1 h ( n ), n ? 0 2 1 ? h ( ? n ), n ? 0 2
27

ho ( n ) ?

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h(o),

n?0

h (o ), 0

n?0

he ( n ) ?

1 h( n ), n ? 0 2 1 h( ?n ), n ? 0 2

ho ( n ) ?

1 h ( n ), n ? 0 2 1 ? h ( ? n ), n ? 0 2

因此,实因果序列h(n)可表示为 h(n)= he(n)u+(n)

h(n)= ho(n)u+(n)+h(0)δ(n)
其中

2,
u? ( n ) ?

n?0 n?0 n?0
例:*题3.6

1, 0,

3.2 序列的Z变换
3.2.1 Z变换的定义及收敛域 序列x(n)的Z变换定义为
X ( z) ?
n ???

?

?

x(n) z? n

3-34

称为序列x(n)的z变换,其中z为复变量。亦可将x(n)的z 变换表示为 3-35 ZT[x(n)]=X(z) 值得注意的是,对n求和是在±∞之间求和,故(2-34) 式又称为双边z变换。称下式为单边z变换
X ( z ) ? ? x(n) z ? n
n ?0
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?

3-36
29

对于因果序列,单边z变换或者双边z变换结果 相同。今后如不明确声明,均用双边z变换对信号进 行分析和变换。

z变换的收敛域
对任意给定序列x(n),使其z变换(3-34)收敛的 所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 按照级数理论,序列x(n)的z变换存在的条件是: (3-34)式等号右边绝对可和。即
3-37

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30

要满足此不等式,|z|值必须在一定范围之内才行, 这个范围就是收敛域,不同形式的序列其收敛域形式 不同。一般收敛域用环状区域表示,即 Rx-<|z|<Rx+ 将z变量写为极坐标形式,即z=rejω代入上式得Rx<r<Rx+,收敛域是半径为Rx-和Rx+的两个圆形成的环 状区域,Rx-和Rx+称为收敛半径。

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31

常见的z变换是一个有理函数,用两个多项式 之比表示:
P( z ) X ( z) ? Q( z )

分子多项式P(z)=0的根是X(z)的零点,分母多项 式Q(z)=0的根是X(z)的极点。在极点处z变换不存在, 因此收敛域中肯定没有极点,极点决定收敛域的边界。

对比序列x(n)的傅里叶变换定义与变换定义,很 容易得到这两种变换之间的关系,用公式表示如下
X ( e j? ) ? X ( z )
z ? e j?

3-38

式中z=ejω 表示z*面上的单位圆。上式表明,单 位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换,若已知序列 的z变换,可以方便的用上式求出序列的傅里叶变换, 前提条件是收敛域包含单位圆。

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33

例: 求单位阶跃序列u(n)的 Z变换。 解:因为 ? ?
X ( z) ?
n ???

?

u (n ) z ? n ? ? z ? n
n ?0

- X(z)存在的条件是|z-1|<1,因此收敛域为|z|>1,并

1 X ( z) ? 1 ? z ?1
|z|>1

-由X(z)知,极点是z=1,因此收敛域不包括单位圆, 所以单位圆上的变换不存在,不能用(3.38)式求FT。

34

3.2.2 几种序列的z变换及其收敛域

要满足(3.34)式,必须保证|z|值在收敛域才行。 不同形式的序列其收敛域不同,分别讨论如下。
1.有限长序列 有限长序列是指在有限区间nl≤n≤n2之内序列 才具有非零的有限值,在此区间外,序列值皆为 零,其z变换为
X ( z) ?

n ? n1

?

n2

x (n ) z ? n

3-39

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35

因此,X(z)是有限项级数之和,故只要级数的每一项 有界,则级数就收敛,即要求 |x(n)z-n| <∞, nl≤n≤n2

由于x(n)有界,故要求 | z-n| <∞, nl≤n≤n2 显然,在0<| z | <∞上,都满足此条件,也就是说: 收敛域至少是除z=0及z=∞外的开域(0,∞)有限z* 面,如下图所示。

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有限长序列及其收敛域 (nl<0,n2>0; z=0,z=∞除外)

37

X ( z) ?

n ? n1

?

n2

x(n ) z ? n

在nl, n2的特殊选择下,收敛域还可进一步扩大:

0<| z | ≤∞
0≤| z | <∞

nl≥0
n2≤0

2.右边序列 右边序列:在n≥nl时,序列值不全为零,在n<nl 时,序列值全为零的序列,其z变换为

X ( z) ?

n ? ??

x ( n) z ? n ? ? x ( n) z ? n ? ? x ( n) z ? n ?
n ? n1 n ?0

??

?1

?

3-40

有限长序列的z变换, 根据上面的讨论可 知,它的收敛域为 有限z*面 (0≤|z|<∞);

z的负幂级数,存在一个收 敛半径Rx-,级数在以原点 为中心,以Rx-为半径的圆 外任何点都绝对收敛( Rx<|z| ≤ ∞)。

39 因此综合此二项,只有二项都收敛时级数才收敛。

所以,如果Rx-是收敛域的最小的半径,则右边 序列z变换的收敛域为 Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如下图所示。

右边序列及其收敛域
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因果序列是最重要的一种右边序列,即nl=0的右序列 也就是说,在n≥0时序列x(n)值不全为零,n<0时,x(n) =0,其z变换中只有z的零幂和负幂项,因此级数收敛 域可以包括|z|=∞,即
X ( z ) ? ? x(n) z ? n
n ?0 ?

Rx-<|z|≤∞

3-41

所以|z|=∞处,z变换收敛是因果序列的特征。

2014-1-5

41

3.左边序列 左边序列是在n≤n2时,序列x(n)值不全为零,n> n2时,序列值全为零的序列,左边序列的z变换为

X ( z ) ? ? x(n) z ?n ? ? x(n) z ?n ? ? x(n) z ?n
n ? ?? n ? ?? n ?1

n2

0

n2

3-42

正幂级数,必存在收敛半 径Rx+,级数在以原点为中 心,Rx+为半径的圆内任何 点都绝对收敛。

有限长序列的z变换,收 敛域为有限z*面(0<|z| ≤ ∞)。

如果Rx+为收敛域的最大半径,则综合以上两项, 左边序列的z变换的收敛域为 42 0<|z|<Rx+

X ( z ) ? ? x(n) z ?n ? ? x(n) z ?n ? ? x(n) z ?n
n ? ?? n ? ?? n ?1

n2

0

n2

如果n2≤0,则(3.42)式右端没有第二项,故收 敛域应包括z=0,即|z|<Rx+。

4. 双边序列 双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列 之和,其Z变换表示为

X ( z) ? ? x(n) z
n???

?

?n

? ? x(n) z
n ?0

?

?n

? ? x(n) z ?n
n???

?1

3-43

-其收敛域是右边序列与左边序列收敛域的公共部分, 等式右边第一项为右边序列,其收敛域为|z|>Rx-, 第二项为左边序列,其收敛域为|z|<Rx+,如果满足 Rx-<Rx+,则存在公共收敛域,即为双边序列,收 敛域为 Rx-<|z|<Rx+ 这是一个环状区域。否则,Rx->Rx+,则不存在公共 收敛域,X(z)不存在。
2014-1-5 44

双边序列及其收敛域
2014-1-5 45

例 x(n)=δ(n),求此序列z变换及收敛域。
解 这是nl=n2=0时有限长序列的特例,由于
Z[? (n)] ? ? ? (n) z ?n ? 1,
n??? ?

0≤|z|≤∞

所以收敛域应是整个z的闭*面(0≤|z|≤∞)。

例 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解:这是一个右边序列,且是因果序列,其z变换为
X ( z) ?
n ???

?

?

a u(n ) z

n

?n

?? a z
n ?0

?

n ?n

1 ? n 1 ? az ?-1

在收敛域中必须满足|az-1|<1,因此收敛域为|z|>|a|。

例 求x(n)=-bnu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
解:这是一个左边序列,其z变换为
X ( z ) ? ? ? b u (?n ? 1) z
n n ? ?? ? ?n

? ??b z
n n ? ??

?1

?n

? b ?1 z ? ??b z ? n ?1 1 ? b ?1 z
? ?n n

z z 1 ?? ? ? , ?1 b ? z z ? b 1 ? bz

|z|<|b|

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48

例 已知序列
an ? x ( n) ? ? n ?? b
n?0 n ? ?1

求其z变换及收敛域。 解 这是一个双边序列,其z变换为
1 1 X ( z ) ? ? x(n) z ? ? a z ? ? b z ? ? ?1 n ? ?? n ?0 n ? ?? 1 ? az 1 ? bz ?1
?n n ?n n ?n ? ? ?1

z z z ( 2 z ? a ? b) ? ? ? z ? a z ? b ( z ? a)( z ? b)

从上两例的求解法,可得此例的结果。如果|a|<|b|, 则得上式的闭合形式表达式,也就是存在收敛域为 |a|<|z|<|b|,如下图所示。
49

一般来说,右边序列ROC取其模值最大的极点 (|z|=|a|),而左边序列ROC则取其模值最小的极点 (|z|=|b|)。 应当注意,同一个z变换函数X(z),由于收敛域不 同,它可能代表不同的序列。
2014-1-5 50

3.3 Z 变换的基本性质和定理
3.3.1 线性 线性就是要满足齐次性和可加性,z变换的线 性也是如此,若 ZT[x(n)]=X(z) Rx-<|z|<Rx+ ZT[y(n)]=Y(z) Ry-<|z|<Ry+ 则 ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z) R-<|z|<R+ 3-44 其中a,b为任意常数。相加后z变换的收敛域一 般为两个相加序列的收敛域的重叠部分,即 R-=max(Rx-,Ry-), R+=min(Rx+,Ry+)
2014-1-5 51

所以相加后收敛域记为

R-=max(Rx-,Ry-)=R-<|z|<R+=R+=min(Rx+,Ry+) 如果这些线性组合中某些零点与极点互相抵消, 则收敛域可能扩大。

2014-1-5

52

3.3.2 序列的移位 (时移) 序列移位后其z变换与原序列z变换的关系有左移 (超前)及右移(延迟)两种情况。 若序列x(n)的z变换为 ZT[x(n)]=X(z) Rx-<|z|<Rx+ 则有 3-45 ZT[x(n-m)]=z-mX(z) Rx-<|z|<Rx+ 式中m为任意整数:m为正,则为延迟,m为负则为超 前。
序列移位后,收敛域一般不变,但有些特殊情况, 如: δ(n), δ(n+1), δ(n-1)。
2014-1-5 53

3.3.3 乘以指数序列 序列乘以指数序列an称为z域尺度变换,a是常数, 也可以是复数。若 X(z)=ZT[x(n)] Rx-<|z|<Rx+ 则 n ?1 ZT[a x(n)] ? X a z , | a | Rx? ?| z |?| a | Rx? 3-46

?
n

?

证明

按定义
n

ZT[a x(n)] ? ? a x(n)z
n???

?

?n

? ? x(n)?a z ? ? X ?a ?1 z ?
? ?1 ?n n???

收敛域为因为Rx-<|a-1 z|<Rx+,得到|a| Rx- <|z|<|a| Rx+
2014-1-5 54

3.3.4 序列的线性加权
序列的线性加权,也称为z域求导数。若已知 X(z)=ZT[x(n)] Rx-<|z|<Rx+



d ZT[nx(n)] ? ? z X ( z ), Rx-<|z|<Rx+ dz
?

3-47

证明 由于

X ( z ) ? ? x(n) z
n ? ??

?n

将等式两端对z取导数,得
d d ? X ( z) ? x ( n) z ? n ? dz dz n???

交换求和与求导的次序,则得
? ? d d ?n ?1 X ( z ) ? ? x(n) ( z ) ? ? z ? nx(n) z ?n ? ? z ?1ZT[nx(n)] n??? n??? dz dz

所以

d ZT[nx(n)] ? ? z X ( z ), Rx-<|z|<Rx+ dz
因而序列的线性加权(乘n)等效于其z变换取导数 再乘以(- z -1),同样可以推导出
d d ? d ? ZT[n x(n)] ? ZT[n ? nx(n)] ? ? z ZT[nx(n)] ? ? z ?? z X ( z )? dz dz ? dz ?
2

d2 d 2 ?z X ( z) ? z X ( z) 2 dz dz

如此递推可得
d ? ? ZT[n x(n)] ? ? ? z ? X ( z ) dz ? ?
m m

其中,符号
d ? d ? d ? d ? d ? ?? ? ? ? z ? ? ? z ?? z ?? z ?? ? z X (z ) ?? ?? dz ? dz ? dz ? dz ? dz ? ?? ?
m

表示m阶导数。

3.3.5 复序列的共轭 若 ZT[x(n)]=X(z), Rx-<|z|<Rx+ 则 ZT[x*(n)]=X*(z*), Rx-<|z|<Rx+
证明
ZT [ x (n)] ?
* n ? ?? *

3-48

? x ( n) z
*

?

?n

?

n ? ??

? ?x(n)( z ) ?
?

* ?n *

? * ?n ? ? ? ? x(n)( z ) ? ? X * ( z * ), ?n ??? ?
?

Rx-<|z|<Rx+

2014-1-5

58

3.3.6 序列的翻转(反褶) 若 则 ZT[x(n)]=X(z), ZT[x(-n)]=X(z-1), Rx-<|z|<Rx+ (Rx+)-1<|z|<(Rx-)-1
3-49

证明 按定义

ZT [ x(?n)] ?

n ? ??

x ( ? n) z ? n ? ?
?

?

n ? ??

x ( n) z n ?

?

? ? x(n) ? ( z ?1 ) ?n ? X z ?1 , (Rx+)-1<|z|<(Rx-)-1
n ? ??

? ?

2014-1-5

59

3.3.7 初值定理 若x(n)是因果序列,即x(n)=0, n<0,X(z)=ZT[x(n)], 则有
x (0) ? lim X ( z )
x ?? z→∞

3-50

证明 由于x(n)是因果序列,则有
X ( z ) ? ? x (n ) z ? n ? x (0) ? x (1) z ?1 ? x (2) z ?2 ? ???
n ?0 ?



lim X ( z ) ? x(0)
x ?? z→∞

3.3.8 终值定理 设x(n)是因果序列,其Z变换的极点,除可以有 一个一阶极点在z=1上,其它极点均在单位圆内,则
3-51

证明

( z ? 1) X ( z ) ?

n ???

?

?

[ x(n ? 1) ? x(n)]z ? n

因为x(n)是因果序列,


2014-1-5

61

因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点,上式两端对z=1取 极限


x ?1 z→1

lim( z ? 1) X ( z ) ? lim[ ? x ( m ? 1) ? ? x ( m)]
n→∞ m ??1
x ?? n→∞ x ?? m ?0

n

n

? lim[ x (0) ? x (1) ? ??? x ( n ? 1) ? x (0) ? x (1) ? x (2) ? ??? x ( n )] ? lim x ( n ? 1) ? lim x ( n )
n→∞
x ?? x ?? n→∞

62

3.3.9 卷积定理 设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和

y(n) ? x(n) ? h(n) ? ? x(m)h(n ? m)
m? ??

?

Rx-<|z|<Rx+,Rh-<|z|<Rh+



Y ( z) ? ZT[ y(n)] ? H ( z) X ( z),
max[Rx-,Rh-]<|z|< min[Rx+,Rh+]

3-52

若时域为卷积和,则z变换域是相乘,如上所示, 乘积的收敛域是X(z)收敛域和H(z)收敛域的重叠部分。 如果收敛域边界上一个z变换的零点与另一个z变换 的极点可互相抵消,则收敛域还可扩大。 63

证明:
ZT [y(n )] ? ZT [x(n ) ? h(n )] ?
? ? m? ?? n ? ??

n ? ??

? [x(n ) ? h(n )] ?
?n ? m???

?

?m n

?

? ?? ? ??

x(m )h(n ? m )z ? n ?

?

? ? x(m)[ ? h(n ? m) z ] ? ? x(m) z ? m H ( z)

? H ( z ) X ( z),

在线性时不变系统中,如果输入为x(n),系统冲 激响应为h(n),则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积和,这 是我们前面讨论过的,利用卷积和定理,可以通过求 X(z)H(z)的反z变换而求出y(n)。后面会看到,对于有限 长序列,这样求解会更方便些,因而这个定理是很重 要的。
64

3.3.10 复卷积定理( z域卷积) 如果 ZT[x(n)]=X(z), ZT[h(n)]=H(z), y(n)=x(n)h(n) R x-<|z|<R x+ Rh-<|z|<Rh+


Y ( z) ? ZT[ y(n)] ? ZT[ x(n) ? h(n)]
1 ?z? ? X ? ? H (v)v ?1dv Rx- Rh-<|z|<Rx+ Rh+ ? 2?j c ? v ?
3-53

式中v*面上被积函数的收敛域为
|z| |z| max[ Rh? , ] ?| v |? min[ Rh? , ] Rx ? Rx ?

证明 ? Y ( z) ? ZT[ y(n)] ? ZT[ x(n)h(n)] ? ? x(n)h(n) z ?n n??? ? 1 ? ? x(n)[ H (v)v n?1dv]z ?n ?c n ? ?? 2?j 逆Z变换
1 ? z ? dv ? ?c[ H (v) n? x(n)? ? ] ? ?? 2?j v ?v?
? ?n

1 ? z ? ?1 ? ?c[ H (v) X ? ?v dv 2?j ?v?

不难证明,由于乘积x(n)?h(n)的先后次序可以互 调,故X(z),H(z)的位臵可以互换。 例:利用Z变换性质求Z变换

3.4 逆Z 变换
从给定的z变换闭合式X(z)中还原出原序列x(n)称 为逆z变换,表示为

x(n) ? IZT [ X ( z )]

3-54

求逆z变换的方法通常有三种:留数法、部分分 式展开法和长除法。

2014-1-5

67

3.4.1 留数法 留数法也叫围线积分法,是求逆z变换的一种有 用的分析方法。根据复变函数理论,若函数X(z)在环 状区Rx-<|z|<Rx+ (Rx-≥0,Rx+≤∞)内是解析的,则在此 区域内X(z)可以展开成罗朗级数,即
X ( z ) ? ? Cn z ?n , Rx-<|z|<Rx+
n ? ?? ?
3-55



Cn ?

1 X ( z ) z n?1dz , ? 2?j c

n ? 0,?1,?2,...

式中围线c是在X(z)的环状解析域(即收敛域)内环绕原 点的一条逆时针方向的闭合单围线,如下图所示。(355)式与z变换定义相比较可知,x(n)就是罗朗级数的系 数Cn。
2014-1-5 68

围线积分路径

因此
1 x ( n) ? X ( z ) z n?1dz , c∈(Rx-,Rx+) ? 2?j c

上式就是用围线积分的逆z变换公式。
2014-1-5 69

直接计算围线积分比较麻烦,一般都采用留数定 理来求解。 按留数定理,若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续, 在c以内有k个极点zk,则有
1 X ( z ) z n?1dz ? ? Re s[X ( z ) z n?1 , z k ] ?c 2?j k

留数的具体求法(1/2)
-设zk是被积函数X(z)zn-1的单(一阶)极点,根据留数定 理有
Re s[ X ( z ) z n ?1 , zk ] ? ( z ? zk ) ? X ( z ) z n ?1
z ? zk

-如果zk是X(z)zn-1的多重(N阶)极点,则有
1 d N ?1 Re s[ X ( z ) z n ?1 , zk ] ? [( z ? zk ) N X ( z ) z n ?1 ] ( N ? 1)! dz N ?1
z ? zk

70

留数的具体求法(2/2) 如果围线c内有高阶极点,而c外没有高阶极点, 根据留数定理,改求c外所有极点留数之和,可使问 题简化(可避免高阶求导)。 设被积函数F(z)=X(z)zn-1 共有N个极点,收敛域内 的封闭曲线c将z*面上极点分成两部分,其中c内有N1 个极点,用z1k 表示,c外有N2 个极点,用z2k 表示。根 据留数辅助定理有
k ?1
2014-1-5

? Res[ F ( z), z1k ] ? ? ? Res[ F ( z), z 2k ]
k ?1
71

N1

N2

例 已知X(z)=(1-az-1)-1, |z|>a,求逆z变换。
解: 记
1 1 x ( n) ? z n?1dz ?c 2?j (1 ? az ?1 )

1 zn F ( z) ? z n?1 ? (1 ? az ?1 ) z?a

极点判断: 当n≥0时,z=a是F(z)的一阶极点;

zn x(n)=Res[F(z),a] ? ( z ? a ) z?a
2014-1-5

?a
z ?a

n

72

1 zn F ( z) ? z n?1 ? ?1 (1 ? az ) z?a
当n<0时, F(z)有两个极点: 一阶极点z=a,以及n阶极点z=0, n阶极点z=0留数不易求,故改求围线圆外极点留数。 但题中F(z)在曲线外没有极点,所以,n<0时,x(n)=0。 所以,所求逆z变换为 x(n)=anu(n)。 事实上,根据前面关于序列收敛域的讨论,由于 本题的收敛域是|z|>a,故知x(n)一定是右边序列,这 样n<0时x(n)一定为零,无需再求。 例:已知X(z)=(1-az-1)-2, |z|>a,求逆z变换。
73

3.4.2 部分分式展开法 在实际应用中,一般X(z)是z的有理分式,可表示 成X(z)=B(z)/A(z),A(z)及B(z)都是变量z的实系数多项 式,分母多项式是N阶,分子多项式是M阶,将X(z)展 成部分分式之和的形式,通过查表求每一个部分分式 的逆z变换(参考第37页表3-2),将各个逆变换相加起来, 就得到所求的x(n)。 设X(z)只有N个一阶级点,X(z)可展成下式

Am z X ( z ) ? A0 ? ? m ?1 z ? z m
N

X ( z ) A0 N Am ? ?? z z m?1 z ? z m
2014-1-5 74

上式中,X(z)/ z在z=0处的极点留数就是A0,在z=zm处 的极点留数就是Am,即 A0 = Res[X(z)/z,0] Am = Res[X(z)/z,zm] 求出系数Am(m = 0,1,2,…,N)后,很容易求得序 列x(n)。


1 X ( z) ? , ?1 ?1 (1 ? 2 z )(1 ? 0.5 z )

|z|>2

试利用部分分式法求z反变换。

2014-1-5

75

1 X ( z) ? , ?1 ?1 (1 ? 2 z )(1 ? 0.5 z )


|z|>2

z X ( z) ? , ( z ? 2)( z ? 0.5)

2

按上述求系数的方法,将等式两端同除以z得 X ( z) z ? z ( z ? 2)( z ? 0.5) 将此式展成部分分式 ,得 A1 A2 X ( z) z ? ? ? z ( z ? 2)( z ? 0.5) z ? 2 z ? 0.5
2014-1-5 76

再求得系数为
X ( z) ? 4 ? A1 ? ?( z ? 2) ? ?3 z ? z ?2 ?

X ( z) ? 1 ? A2 ? ?( z ? 0.5) ?? ? z ? z ?0.5 3 ?

得到

X ( z) 4 1 1 1 ? ? z 3 z ? 2 3 z ? 0.5

4 z 1 z X ( z) ? ? 3 z ? 2 3 z ? 0.5
查表3-3可得(注意,由所给收敛域知是因果序列)

1 ?4 n n? x(n) ? ? ? 2 ? ? 0.5 ?u (n) 3 ?3 ?
例:用部分分式法求逆z变换
77

3.4.3 幂级数展开法(长除法) 因为x(n)的z变换定义为z-1的幂级数,即
X ( z) ?
n ? ??

x(n) z ?n ? ? ? ? ? x(?1) z1 ? x(0) z 0 ? x(1) z ?1 ? x(2) z ?2 ? ? ? ? ?

?

所以只要在给定的收敛域内,把X(z)展成幂级数,则 级数的系数就是序列x(n)。
一般情况下,X(z)是一个有理分式,分子分母都 是z的多项式,则可直接用分子多项式除以分母多项式, 得到幂级数展开式,从而得到x(n)。

右边序列:z的降幂或z-1的升幂排列-> z-1的幂级数 左边序列:z的升幂或z-1的降幂排列-> z的幂级数
78

例 已知

3z X ( z) ? , ?1 2 (1 ? 3z )

?1

|z|>3

求它的逆z变换x(n)。
解 收敛域|z|>3,故是因果序列,因而X(z)分子分母应 按z的降幂或z-1的升幂排列。这里按z的降幂排列较方 便,故将原式化成
X ( z) ? 3z ( z ? 3)
2

?

3z z ? 6z ? 9
2

,

| z |? 3

2014-1-5

79

进行长除

X(z)=3z-1+2×32 z-2+3×33 z-3+4×34 z-4+…=

? ?n?3 z
n ?1
2014-1-5

?

n ?n

由此得到 x(n)=n×3nu(n-1)
80

例 已知 X(z)= (1-az-1) -1, |z|<|a| 试用长除法求z反变换x(n)。 解 由X(z)的收敛域判定,x(n)是左边序列。用长除法 2 3 将X(z)表示为正幂级数

2 2

所以 X(z)= - (a-1z + a-2z2+ a-3z3 +…) = ?
因而 x(n)=- anu(-n-1)

n ? ??

a n z ?n ?

?1

长除法一般很难得到序列x(n)的封闭解形式。

81

3.5 ZT、FT和LT的关系
在第二章中我们已经讨论了连续信号的理想抽样。 在这一节中,利用它来讨论离散信号的z变换与连续信 号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。 下面来看序列的z变换与理想抽样信号的拉普拉斯 变换的关系。 设连续信号为xa(t),理想抽样后的抽样信号为 , ? x (t ) 它们的拉普拉斯变换分别为
a

X a ( s) ? L[ xa (t )]

? ? X a ( s) ? L[ xa (t )]
82



? ( s ) ? ?? x (t )e ? st dt ? Xa ?? a
? ?

? 将以前的 xa (t ) 表达式代入可得

? X a (s) ? ??? ? xa (nT )? (t ? nT )e ? st dt
?
n ? ??

??

?

n ? ??

?

??

xa (nT )? (t ? nT )e ? st dt ?

n ? ??

x(n)e ?nsT ?

?

与此同时,抽样序列x(n)=xa(nT)的z变换为

X ( z ) ? ? x(n) z ? n
n ? ??

?

由此看出,当z=esT时,抽样序列的z变换就等于其理 想抽样信号的拉普拉斯变换。
? X ( z ) | z ?e ? X (e sT ) ? X a ( s )
sT

83

这两变换之间的关系,就是由复变量s*面到复变量z *面的映射,其映射关系为 1 sT s ? ln z 3-56 z?e T

下面来讨论这一映射关系。将s*面用直角坐标表示 s=σ+jΩ 而z*面用极坐标表示 z=rejω 将它们都代入(3-56)式中,得到

re ? e
j?

(? ? j? ) T

?e e
?T

j?T
84

因而

r=eσT, ω=ΩT
也就是说z的模r只与s的实部σ相对应,而z的相角ω只与s 的虚部Ω相对应。 (1) r与σ的关系,r=eσT -σ=0(s*面虚轴)对应于r=1(z*面单位圆上); -σ<0(s的左半*面)对应于r<1(z*面单位圆内部); -σ>0(s的右半*面)对应于r>1(z*面单位圆外部);其 映射关系可见下图
85

(1) r与σ的关系,r=eσT

σ=0,σ<0,σ>0分别映射成r=1,r<1,r>1
2014-1-5 86

(2) ω与Ω的关系,ω=ΩT

-Ω=0(s*面实轴)对应于ω=0(z*面正实轴); -Ω=Ω0(常数)(s*面*行于实轴的直线)对应于ω=
Ω0T(z*面始于原点辐角为ω=Ω0T的辐射线)。

-Ω由-π/T增长到π/T,对应于ω由-π增长到π,即s*面
为2π/T的一个水*条带相当于z*面辐角转了一周, 也就是覆盖了整个z*面(Ω=±π/T映射到z*面ω= ±π,即负实轴),因此Ω每增加一个抽样角频率从 Ωs=2π/T,则ω相应的增加一个2π,也就是说,FT 是ω的周期函数。

2014-1-5

87

(2) ω与Ω的关系,ω=ΩT 所以s*面到z*面的映射是多值映射。

s*面与z*面的多值映射关系 (以s*面左半*面为例,s右半*面则以相同方式映射到z*面 2014-1-5 88 单位圆外)

(3) x(n)的z变换X(z)和xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)的关系
由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例, 即s=jΩ,因而映射到z*面上为单位圆z=ejΩT。
? X ( z ) | z ?e ? ? X (e j?T ) ? X a ( j? )
j T

就是说,抽样序列在单位圆上的z变换,就等于其理 想抽祥信号的傅里叶变换。

进一步改写
X ( z ) | z ? e ? ? X (e
j T

j?T

1 ? 2? ) ? ? X a ( j? ? j k) T k ? ?? T
89

2014-1-5

的单位圆上就是Ω的周期函数,即它在单位圆上循环 出现。 在以后的讨论中,我们用数字频率ω来作为z*面上单 位圆的参数,即 z=ejω 数字频率ω表示z*面的辐角,它和模拟角频率Ω的关 系为 ? f
? ? ?T ?
fs ? 2? fs

? X a ( j? )是频谱Xa(jΩ)的周期延拓,这一点表现在z*面

可看出数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化值, 或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2π。
90

3.6 系统函数和频率响应
3.6.1 传输函数与系统函数
1.传输函数与系统函数 在前面的内容中讨论过,线性时不变系统在时域 中可以用它的单位脉冲响应h(n)来表示,即 h(n)=T[δ(n)] 对h(n)进行傅里叶变换,得
H (e j? ) ?
n ???

?

?

h(n )e ? j? n

H(ejω)称为线性时不变系统的传输函数,它表征系统 的频域特性。设线性时不变系统的输入为x(n),输出 为y(n),单位脉冲响应为h(n),那么 91

y(n)=x(n)*h(n) 对上式两端取z变换,得 Y(z)=H(z)X(z) 则 H(z)=Y(z)/X(z) H(z)称为线性时不变系统的系统函数,它表征系统的 复频域特性,它是系统的单位脉冲响应h(n)的z变换, 即 ? H ( z) ? ZT[h(n)] ? ? h(n) z ?n
n ? ??

92

若H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1,则在单位圆上 的系统函数就是系统的频率响应H(ejω),即H(z)与 H(ejω)有如下关系

H (e j? ) ? H ( z ) | z ?e j?
因此单位脉冲响应在单位圆上的z变换就是系统的 传输函数。由于H(z)的分析域是复频域,傅里叶变换 仅是z变换的特例,故从名称上给与区别。有时为了简 单也可以都称为传输函数,差别用括号中的变量ejω或z 表示。
93

2.系统函数和差分方程的关系
第二章中曾经讨论,一个线性时不变系统,可以 用常系数线性差分方程来描述,其中线性时不变系统 的输入为x(n),输出为y(n)。这种常系数线性差分方程 的一般形式为

? ak y(n ? k ) ? ? bm x(n ? m)
k ?0 m ?0

N

M

若系统起始状态为零,对上式取z变换,利用移位特性 可得
ak z Y ( z ) ? ? bm z ? m X ( z ) ?
?k k ?0 m?0 N M

94

于是
Y ( z ) m ?0 H ( z) ? ? N X ( z ) ? a z ?k k
k ?0

bm z ? m ?

M

因此,系统函数分子、分母多项式的系数分别与差分 方程的系数相当。 上式是两个z-1的多项式之比,将其分别进行因式 分解,可得 M
H ( z) ? K (1 ? cm z ?1 ) ?
m ?1 N k ?1

(1 ? d k z ?1 ) ?

式中z=cm是H(z)的零点,z=dk是H(z)的极点,它们分 别由差分方程的系数bm和ak决定。 95

Y ( z ) m ?0 H ( z) ? ? N X ( z ) ? a z ?k k
k ?0

? bm z

M

?m

H ( z) ? K

?1 ? (1 ? cm z )

M

(1 ? d k z ?1 ) ?
k ?1

m ?1 N

上述算式并没有给定H(z)的收敛域,因而可代表 不同的系统,这和前面我们说过的,差分方程并不惟 一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的,同 一系统函数,收敛域不同,所代表的系统就不同,必 须同时给定系统函数和系统的收敛域才能确定系统。 而对于稳定系统,其收敛域必须包括单位圆,因 而,在z*面上以极点、零点图描述系统函数,通常都 画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位 圆之外。
96

3.6.2 因果稳定系统 因果系统(可实现系统)的单位脉冲响应h(n)必定 满足条件 当n<0,h(n)=0 则其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点,极点必定 分布在某个圆内,即收敛域在某个圆外。 系统稳定的必要且充分条件是h(n)必须满足绝对 可和条件,即

n ???
97

?

?

h(n ) ? ?

n ???

?

?

h(n ) ? ?

对照Z变换定义,系统稳定要求收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定,收敛域包含∞点和单位圆,那 么收敛域可表示为 1 ≤|z|≤∞,或者r < |z|≤∞,0<r<1 也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。 具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布 确定。

98

例:已知 稳定性. 解:H(z)的极点为z=a,z=a-1。 (1)收敛域a-1<|z|≤∞,对应的系统是因果系统,但由于 收敛域不包含单位圆,因此是不稳定系统。 (2)收敛域0≤|z|<a,对应的系统是非因果且不稳定系统。 其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1),这是一个非因果 且不收敛的序列。 (3)收敛域a<|z|<a-1 ,对应的系统是一个非因果系统, 但由于收敛域包含单位圆,因此是稳定系统。其单位 脉冲响应h(n)=a|n|,这是一个收敛的双边序列。
99

1 ? a2 H ( z) ? ,0 ? a ? 1 分析其因果性和 ?1 (1 ? az )(1 ? az )

3.6.3 频率响应的几何确定法 利用H(z)在z*面上零点、极点的分布,通过几何 方法直观地求出系统的频率响应。用零点、极点表 达的H(z)为
H ( z) ? K

? (1 ? cm z )
?1

M

(1 ? d k z ?1 ) ?
k ?1

m ?1 N

? Kz N ? M

? ( z ? cm ) ? (z ? dk )
k ?1 m ?1 N

M

其中K为实数。用z=ejω代入,即得系统的频率响应为
H (e ) ? Ke
j? j ( N ? M )? m ?1 N k ?1

( e j? ? c m ) ?

M

( e j? ? d k ) ?

?| H (e ) | e
j?

j arg[H ( e j? )]

100

H (e ) ? Ke

j?

j ( N ? M )? m ?1 N k ?1

( e j? ? c m ) ?

M

( e j? ? d k ) ?

?| H (e ) | e
j?

j arg[H ( e j? )]

其模等于
| H (e j? ) |?| K |
j? ? | (e ? c m ) | M

| (e j? ? d k ) | ?
k ?1

m ?1 N

其相角为
arg[ H (e )] ? arg[ K ] ? ? arg[ e ? cm ] ? ? arg[ e j? ? d k ] ? ( N ? M )?
j? j? m?1 k ?1 M N

101

复变量cm (或dk)用由原点指 向cm点(或dk点)的矢量表示, 因而ejω-cm可以用一根由零 点cm指向单位圆上ejω点的矢 量Cm来表示,即 ejω-cm=Cm= ρmejθ m ejω-dk则用极点dk指向ejω点的 矢量Dk来表示,即 ? ? cm零点向量,? m零点指向向量; jφk Dk=lke ? ? d k 极点向量,?k 极点指向向量。
| H (e j? ) |?| K |

? ?m
m ?1 N

M

? lk
k ?1

频率响应的幅度等于各零点 至ejω点矢量长度之积除以各 极点至ejω点矢量长度之积, 再乘以常数|K|。

102

| H (e j? ) |?| K |

? ?m
m ?1 N

M

? lk
k ?1

频率响应的幅度等于各零点 至ejω点矢量长度之积除以各 极点至ejω点矢量长度之积, 再乘以常数|K|。

由于单位圆附*的零点位臵将对幅度响应凹谷的 位臵和深度有明显的影响,零点在单位圆上,则谷点 为零,即为传输零点。零点可在单位圆外。而在单位 圆内且靠*单位圆附*的极点对幅度响应的凸峰的位 臵和深度则有明显的影响,极点在单位圆外,则不稳 定。利用这种直观的几何方法,适当地控制极点、零 点的分布,就能改变数字滤波器的频率响应特性,达 到预期的要求。
103

例:用几何分析法分析矩形序列RN(n)的幅频特性。 假设N=8。
RN ( z ) ?

n ???

?

?

RN (n ) z ? n ? ? z ? n
j 2? k N
n ?0

N ?1

1 ? z?N zN ?1 ? ? N ?1 ?1 1? z z ( z ? 1)

零点: z ? e

, k ? 0,1, 2 ???, N ? 1;

极点: z ? 0( N ? 1 阶极点 ) z ? 1

z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅
频特性如图所示。

104

矩形序列RN(n)的幅频特性(N=8)

接下来看频率响应的相角
arg[ H (e )] ? arg[ K ] ? ? arg ? m ? ? arg ?k ? ( N ? M )?
j? m?1 k ?1 M N

也就是说,频率响应的相角等于各零点至ejω点矢 量的相角之和减去各极点至ejω点矢量相角之和,加上 常数K的相角arg[K],再加上线性相移分量ω(N-M)。
最小相位系统 最大相位系统
?{arg[H (e )]} ? ?{? arg? m } ? ?{? arg ? k } ? ( N ? M )?
j? m ?1 k ?1
106

M

N

例:如果|H(ejω)|=常数(广义),则系统H(ejω)称全通 网络。已知
1 ? a ?1 z ?1 H ( z) ? 1 ? az ?1

,a为实数

(1)用几何法证明该系统是全通网络,即证明|H(ejω)|= 常数; (2)确定参数a使系统因果稳定。 解 (1) ?1 ?1 ?1
1? a z z?a H ( z) ? ? ?1 1 ? az z?a

极点z=a,零点z=a-1。设0<a<1,零极点分布如图所 示。于是有
2014-1-5 107

OA 1 a ?1 OB ? ? ? OC a 1 OA

又因为∠AOC公用,ΔAOB∽ΔAOC,故 AB 1 ? AC a
2014-1-5 108



1 ? a ?1z ?1 z ? a ?1 e j? ? a ?1 AB 1 H (e j? ) ? ? ? j? ? ? ?1 z ? a z ?e j? AC a 1 ? az z ?e j? e ?a

即|H(ejω)|=常数,所以H(z)是一个全通网络。或者由余 弦定理

AC ? a ? 2a cos? ? 1
2

AB ? a ? 2a cos? ? 1 ? a
?2 ?1

?1

a ? 2a cos? ? 1
2

|H(ejω)|=AB/AC=a-1=常数 (2)只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。

第3章 离散时间信号与系统的频域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 序列的傅立叶变换 序列的Z变换 Z变换的基本性质和定理 逆Z变换 Z变换、傅立叶变换、拉普拉斯变换的关系 系统函数与频率响应




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