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江西省南昌市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]

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2014 届南昌市高三第二次模拟考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 作答.若在试题卷上作答,答案无效.
第Ⅰ卷

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的

1.复数 i 在复*面内对应的点位于 2i ?1

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知全集U ???2,?1,0,1,2,3?, M ? ??1,0,1,3? , N ? ??2,0, 2,3? ,则(?U M ) N 为

A. ??1,1?

B.??2?

C.??2, 2?

D.??2,0, 2?

3.下列说法正确的是
A.命题“存在 x ?R ,x2 ? x ? 2013 ? 0 ”的否定是“任意 x ?R ,x2 ? x ? 2013 ? 0 ”
B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C.函数 f (x) ? 1 在其定义域上是减函数 x
D.给定命题 p、q ,若“ p 且 q ”是真命题,则 ?p 是假命题
4.已知函数 f (x) ? cos?x (x ? R,? ? 0) 的最小正周期为? ,为了得到函数 g?x? ?

sin(?x ? ? ) 的图象,只要将 y ? f ?x?的图象
4

A.向左*移 ? 个单位长度 B.向右*移 ? 个单位长度

8

8

2

C.向左*移 ? 个单位长度 D.向右*移 ? 个单位长度

4

4

正(主)视图 左(侧)视图

5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上, 2

球 O 的表面积是

A. 2?

B. 4? C.8?

D.16?

2

2

6.方程 (x2 ? y2 ? 2x) x ? y ?3 ? 0 表示的曲线是

俯视图

A.一个圆和一条直线

B.一个圆和一条射线

C.一个圆 D.一条直线

7.已知函数 y ? f (x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f (x) ? 2|x| ?1,则函数

F(x) ? f (x)? | lg x | 的零点个数是

A.9

B.10

C.11

D.18

8.已知函数 y ? f (x) 对任意的 x ? (? ? , ? ) 满足 f '(x) cos x ? f (x)sin x ? 0(其中 f '(x) 22

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是函数 f (x) 的导函数),则下列不等式成立的是

A. 2 f (? ? ) ? f (? ? ) B. 2 f (? ) ? f (? ) C. f (0) ? 2 f (? ) D. f (0) ? 2 f (? )

3

4

34

3

4

9.如图:正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1, E, F 分别是棱

D1

C1

A1B1, CD 的中点,点 M 是 EF 的动点, FM ? x ,过点 M 、 A1

E

B1

直线 AB 的*面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体

M

积为V (x) ,则函数V (x) 的大致图像是

D

F

C

y

y

y

1

1

1

A

B

y

1

1

1

1

1

2

x2

x2

x

2

x

O

2

2

O

2

2

O

2

2

2

2

2

O

2

2

2

A

B

C

D

10.抛

物线 C : x2 ? 8y 与直线 y ? 2x ? 2 相交于 A, B 两点,点 P 是抛物线 C 上不同 A, B 的一点,

若直线 PA, PB 分别与直线 y ? 2 相交于点 Q, R , O 为坐标原点,则 OR ? OQ 的值是

A.20

B.16

C.12

D.与点 P 位置有关的一个实数

二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分,

本题共 5 分.

11.(1)(坐标系与参数方程)曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos2 ? ? sin? , 曲线 C2 的参数方程



?x

? ?

y

? ?

3? 1?

t t



t

为参数),以极点为原点,极轴为

x

轴正半轴建立*面直角坐标系,

则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最*的距离为

A.2

B. 2

C. 3 2

D. 7 2

4

8

(2)若不等式 x ? 1 ? a ? 2 ?1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x

A. (0,3)

B. (?1,1)

C. (1,3)

D. (1, 4)

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2014 届南昌市高三第三次模拟考试
理科数学

第Ⅱ卷

注意事项:
第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效. 三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是__________.

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开始 n ?1,S ? 0

S ? S ? cos n? 3



n ? 2014

输出S 结束



n ? n?1

13.实验员进行一项实验,先后要实施 5 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一

步,程序 C 或 D 实施时必须相邻,实验顺序的编排方法共有________种.

14.观察下列等式

23 ? 3 ? 5,33 ? 7 ? 9 ?11, 43 ? 13 ?15 ?17 ?19,53 ? 21? 23 ? 25 ? 27 ? 29, ,若类似

上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最 后一个数是109,则正整数 m 等于____.

y C

15.如图放置的边长为1的正方形 PABC 沿 x 轴 P

滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点 P? x, y?

B

的 轨 迹 方 程 是 y ? f (x) , 则 对 函 数

A

O

x

y ? f (x) 有下列判断:①函数 y ? f (x) 是

偶函数;②对任意的 x ?R ,都有 f (x ? 2) ? f (x ? 2) ;③函数 y ? f (x) 在区间[2,3]

? 上单调递减;④ 2 f (x)dx ? ? ?1 .其中判断正确的序号是

0

2



四、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

已知公比不为1 的等比数列 {an } 的首项

a1

?

1 2

,前

n

项和为

Sn

,且

a4

?

S4,

a5

?

S5 ,

a6

?

S6



等差数列.

(1)求等比数列 {an } 的通项公式;

(2)对 n ? N? ,在 an 与 an?1 之间插入 3n 个数,使这 3n ? 2 个数成等差数列,记插入的这 3n 个数的和为 bn ,求数列{bn}的前 n 项和Tn .

17.(本小题满分 12 分)
某公司生产产品 A,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于 90 为一等品,大于或等于 80 小于 90 为二等品,小于 80 为三等品,生产一件一等品可盈利 50 元,生产一件二等品可盈 利 30 元,生产一件三等品亏损 10 元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各
100 件进行检测,检测结果统计如下:

测试指标 [70, 75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)



3

7

20

40

20

10



5

15

35

35

7

3

现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计 为他们生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率.

(1)计算新工人乙生产三件产品 A,给工厂带来盈利大于或等于 100 元的概率;

(2)记甲乙分别生产一件产品 A 给工厂带来的盈利和记为 X,求随机变量 X 的概率分布和 数学期望.

18.(本小题满分 12 分)

如图,已知正方形 ABCD的边长为 6 ,点 E, F 分别在边 AB, AD 上, AE ? AF ? 4 ,现将 A?

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A

EB

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△ AEF 沿线段 EF 折起到△ A' EF 位置,使得 A'C ? 2 6 .

(1)求五棱锥 A'? BCDFE 的体积;

(2)求*面 A' EF 与*面 A' BC 的夹角.
19.(本小题满分 12 分)
如图,已知 △ABC 中,AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 120? ,点 M 是边 BC 上的动点,动点 N

满足 ?MAN ? 30?, AM ? AN ? 3 (点 A, M , N 按逆时针方向排列). A
(1)若 AN ? ? AC(? ? 0) ,求 BN 的长;

(2)求△ ABN 面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

?

0)

的左焦点为

F

B
,左、右顶点分别为

A,

B

M
,过点

F

N
C
且倾斜

角为 ? 的直线 l 交椭圆于 C, D 两点,椭圆 C 的离心率为 3 , AC ? AD ? BC ? BD ? ? 32 3 .

4

2

5

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若 P1, P2 是椭圆上不同两点, P1P2 ? x 轴,圆 E 过点 P1, P2 ,且椭圆上任意一点都不在

圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的内切圆.问椭圆 C 是否存在过点 F 的内切圆?若存在,求出

点 E 的坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? sin x ? ax ? bx cos x (a ? R,b ? R).

(1)若 b ? 0 ,讨论函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上的单调性;

(2)若 a ? 2b 且对任意的 x ? 0 ,都有 f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014 届南昌市高三二模考试理科数学参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

D

B

C

D

B

A

C

A

二、选做题:本题共 5 分.

11. (1) D; 11. (2) C

三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

12. ? 3 13.24 14. 10 15.①②④ 2

四、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.
16.解:(1)因为 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列,

所以 a5 ? S5 ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 ? a5 ? S5 ,………………………………………………2 分



2a6

? 3a5

?

a4

?

0 ,所以

2q2

?

3q

?1

?

0

,因为 q

? 1,所以

q

?

1 2

,……………4



所以等比数列{an}的通项公式为 an

?

1 2n

;………………………………………………6



(2) bn

?

an

? an?1 2

? 3n

?

3 4

( 3 )n 2

,………………………………………………………9



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Tn

?

3 4

3 ? ( 3)n?1 22
1? 3

?

9 [(3)n ?1]. 42

………………………………………………………12 分

2

17.解:甲生产一件产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为 3 , 6 , 1 ,…3 分 10 10 10

乙生产一件产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为 1 , 7 , 2 ……………6 分 10 10 10
(1)新工人乙生产三件产品 A,给工厂带来盈利大于或等于 100 元的情形有:三件都是一 等品;二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品,概率为:

P ? ( 1 )3 ? 3? ( 1 )2 ? 7 ? 3? 1 ? ( 7 )2 ? 169 ………………………………………8 分

10

10 10 10 10 1000

(2))随机变量 X 的所有可能取值为 100,80,60,40,20,-20.

P(X ? 100) ? 3 ? 1 ? 3 , P(X ? 80) ? 3 ? 7 ? 1 ? 6 ? 27 ,

10 10 100

10 10 10 10 100

P(X ? 60) ? 6 ? 7 ? 42 , P(X ? 40) ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ? 7 ,

10 10 100

10 10 10 10 100

P(X ? 20) ? 6 ? 2 ? 1 ? 7 ? 19 , P(X ? ?20) ? 1 ? 2 ? 2

10 10 10 10 100

10 10 100

所以,随机变量 X 的概率分布为:

X

100

80

60

40

20

-20

3

27 42

7

19

2

P

100 100 100 100 100 100

…10 分

随机变量 X 的数学期望 EX ? 300 ? 2160 ? 2520 ? 280 ? 380 ? 40 ? 56 (元)…12 分 100
18.解(1)连接 AC ,设 AC ? EF ? H ,由 ABCD 是正方形, AE ? AF ? 4 ,

得 H 是 EF 的中点,且 EF ? AH, EF ? CH ,从而有 A' H ? EF,CH ? EF ,

所以 EF ? *面 A' HC ,从而*面 A' HC ? *面 ABCD ,……………2 分

过点 A' 作 A'O 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O , 则 A'O ? *面 ABCD ………………………………4 分 因为正方形 ABCD的边长为 6 , AE ? AF ? 4, 得到: A' H ? 2 2,CH ? 4 2 , 所以 cos ?A' HC ? 8 ? 32 ? 24 ? 1 ,
2?2 2?4 2 2

A?

D

F

A

HO

E

C B

所以 HO ? A' H ? cos ?A ' HC ? 2, A'O ? 6

所以五棱锥 A'? BCDFE 的体积 v ? 1 ? (62 ? 1 ? 4? 4) ? 6 ? 28 6 ;……………6 分

3

2

3

(2)由(1)知道 A'O ? *面 ABCD,且 CO ? 3 2 ,即点 O 是 AC, BD 的交点,

如图以点 O 为原点, OA,OB,OA' 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

则 A'(0, 0, 6), B(0,3 2, 0), C(?3 2, 0, 0), D(0, ?3 2, 0) , z
A?
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D

C

F

O AH

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E( 2, 2 2, 0), F ( 2, ?2 2, 0) ………………………7 分 设*面 A' EF 的法向量为 m ? (x, y, z) ,则

m ? FE ? 0 ? (x, y, z) ? (0, 4 2, 0) ? 0 ? y ? 0 ,

m ? A' E ? 0 ? (x, y, z) ? ( 2, 2 2, ? 6) ? 0 ? x ? 3z ,

令 z ?1,则 m ? ( 3, 0,1) ,………………………9 分

设*面 A' BC 的法向量n ? (x ', y ', z '),则m ?CB ? 0 ? (x ', y ', z ') ?(3 2,3 2,0) ? 0 ? y ' ? ?x ' ,

n ? A' B ? 0 ? (x ', y ', z ') ? (0,3 2, ? 6) ? 0 ? z ' ? 3y ' ,

令 y ' ? 1 ,则 x ' ? ?1, z ' ? 3 ,即 n ? (?1,1, 3) , ………………………………11 分

所以 cos ? m,n ?? 0 ,即*面 A' EF 与*面 A' BC 夹角 ? .………………………12 分 2

19.解:(1)由 AN ? ? AC (? ? 0) 得点 N 在射线 AC 上, ?BAM ?120? ?30? ? 90? , 因为 △ABC 的面积等于△ ABM 与△ ACM 面积的和,

所以 1 ? AB ? AM ? 1 ? AC ? AM ?sin 30? ? 1 ? AB ? AC ?sin120? ,

2

2

2

得: AM ? 3 ,……………………………………………………………………………3 分 2
又 ?MAN ? 30?, AM ? AN ? 3 ,所以 AM ? AN ?cos30? ? 3,即 AN ? 4,

BN 2 ? 1?16 ? 2?1? 4? cos120? ? 21,即 BN ? 21 ;………………………………6 分

(2)设 ?BAM ?x ,则 ?CAM ?120? ? x ,因为△ABC 的面积等于△ ABM 与△ ACM

面积的和,所以 1 ? AB ? AM ?sin x ? 1 ? AC ? AM ?sin(120? ? x) ? 1 ? AB ? AC ?sin120? ,

2

2

2

得: AM ?

3

,………………………………………………………7 分

2(sin x ? 3 cos x)

又 ?MAN ? 30?, AM ? AN ? 3 ,所以 AM ? AN ?cos30? ? 3 ,即 AN ? 4sin x ? 2 3 cos x ,

所以△ ABN 的面积 S ? 1 ?(4sin x ? 2 3 cos x) ?sin(x ? 30?) ? 3 sin2 x ? 3 cos2 x ? 5 sin x cos x

2

2

2

即 S ? 5 sin 2x ? 3 cos 2x ? 3 3 ? 2 7 sin(2x ??) ? 3 3 ………………………10 分

4

4

44

4

(其中: sin? ? 3 , cos? ? 5 ,? 为锐角),

27

27

所以当 2x ?? ? 90? 时,△ ABN 的面积最大,最大值是 2 7 ? 3 3 .………………12 分 4

20.解:(1)因为离心率为 3 ,所以 a ? 2b, c ? 3b , 2

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所以椭圆方程可化为:

x2 4b2

?

y2 b2

? 1,直线 l 的方程为

y

?

x?

3b ,………………2 分

? x2

由方程组

? ?

4b

2

?

y2 b2

?

1
,得:

x

2

? 4(x ?

?? y ? x ? 3b

3b)2 ? 4b2 ,即 5x2 ? 8 3bx ? 8b2 ? 0 ,…4 分

设 C(x1,

y1 ),

D(x2 ,

y2 )

,则

x1

?

x2

?

?

83 5

b

,………………………………………5



又 AC ? AD ? BC ? BD ? (x1 ? a, y1)?(x2 ? a, y2) ? (x1 ? a, y1)?(x2 ? a, y2) ? 2a(x1 ? x2) ,

所以 4b ? (? 8 3 b) ? ? 32 3 ,所以 b ?1,椭圆方程是 x2 ? y2 ? 1;………………7 分

5

5

4

(2)由椭圆的对称性,可以设 P1(m, n), P2 (m, ?n) ,点 E 在 x 轴上,设点 R(t, 0) ,

则圆 E 的方程为: (x ? t)2 ? y2 ? (m ? t)2 ? n2 ,

由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 E 距离的最小值是 | P1E | ,

设点 M (x, y) 是椭圆 C 上任意一点,则| ME |2 ? (x ? t)2 ? y2 ? 3 x2 ? 2tx ? t2 ?1,…9 分 4



x

?

m

时, |

ME

|2

最小,所以 m

?

?

?2t 3

?

4t 3

①……………………………………10



2

又圆 E 过点 F ,所以 (? 3 ? t)2 ? (m ? t)2 ? n2 ②……………………………………11 分

点 P1 在椭圆上,所以 n2

m2 ?1?
4



……………………………………………………12 分

由①②③解得: t ? ? 3 或 t ? ? 3 , 2

又 t ? ? 3 时, m ? ?4 3 ? ?2 ,不合, 3

综上:椭圆 C 存在符合条件的内切圆,点 E 的坐标是 (? 3 , 0) .……………………13 分 2
21.解:(1) b ? 0 时, f (x) ? sin x ? ax ,则 f '(x) ? cos x ? a ,…………………1 分 当 a ?1时, f '(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上单调递减;…………………2 分 当 a ? ?1 时, f '(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上单调递增;………………3 分 当 ?1? a ?1时,存在? ?(0,? ) ,使得 cos? ? a ,即 f (?) ? 0 ,…………………4 分 x ? (0,?) 时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (0,?) 上单调递增,……………………5 分 x ?(?,? ) 时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (?,? ) 上单调递减. ……………………6 分

(2) a ? 2b 时, f (x) ? sin x ? a x(2 ? cos x) , 2

f (x) ? 0恒成立,等价于 sin x ? a x ,……………………………………………7 分 2 ? cos x 2

记 g(x) ? sin x ? a x , 2 ? cos x 2



g

'( x)

?

2 cos x ?1 (2 ? cos x)2

?

a 2

?

?3( 1 2 ? cos

x

?

1)2 3

?

a 2

?

1 3

,…………………………8



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当 a ? 1 ,即 a ? 2 时, g '(x) ? 0 , g(x) 在区间[0, ??) 上单调递减,

23

3

所以当 x ? 0 时, g(x) ? g(0) ? 0 ,即 f (x) ? 0 恒成立;………………………10 分

当 0 ? a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,记 h(x) ? sin x ? a x ,则 h '(x) ? cos x ? a ,

23

3

32

32

存在?0

? (0,

? 2

) ,使得 cos?0

?

3 2

a

,

此时

x ? (0,?0 )

时, h '(x)

?

0 , h(x)

单调递增, h(x)

?

h(0)

?

0 ,即

sin 3

x

?

a 2

x,

所以 sin x ? sin x ? a x ,即 f (x) ? 0 ,不合题意;…………………………12 分 2 ? cos x 3 2

当 a ? 0 时, f (? ) ? 1? a ? ? 0 ,不合题意;……………………………………13 分

2

2

综上,实数 a 的取值范围是[ 2 , ??) …………………………………………………14 分 3

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