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江西省南昌市2014届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案[ 高考]

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2014 南昌市高三第二次模拟考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.复数 1 在复*面内对应的点位于 2?i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知全集U ???2,?1,0,1,2,3?, M ? ??1,0,1,3? , N ? ??2,0, 2,3? ,则(?U M ) N 为

A. ??1,1?

B.??2?

C.??2, 2?

D.??2,0, 2?

3.下列说法正确的是
A.命题“存在 x ?R ,x2 ? x ? 2013 ? 0 ”的否定是“任意 x ?R ,x2 ? x ? 2013 ? 0 ”
B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C.函数 f (x) ? 1 在其定义域上是减函数 x
D.给定命题 p、q ,若“ p 且 q ”是真命题,则 ?p 是假命题
4.已知函数 f (x) ? cos?x (x ? R,? ? 0) 的最小正周期为? ,为了得到函数 g?x? ?

sin(?x ? ? ) 的图象,只要将 y ? f ?x?的图象
4

A.向左*移 ? 个单位长度 B.向右*移 ? 个单位长度

8

8

C.向左*移 ? 个单位长度 D.向右*移 ? 个单位长度 2

4

4

5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上,正(主)视图 左(侧)视图

球 O 的表面积是

2

A. 2?

B. 4? C.8?

D.16?

2

2

6.方程 (x2 ? y2 ? 2x) x ? y ?3 ? 0 表示的曲线是

俯视图

A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线 C.一个圆

D.一条直线

7.已知函数 y ? f (x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f (x) ? 2|x| ?1,则函数

F(x) ? f (x)? | lg x | 的零点个数是

A.9

B.10

C.11

D.12

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8.已知函数 y ? f (x) 对任意的 x ?R 满足 2x f '(x) ? 2x f (x) ln 2 ? 0(其中 f '(x) 是函数

f (x) 的导函数),则下列不等式成立的是

A. 2 f (?2) ? f (?1) B. 2 f (1) ? f (2) C. 4 f (?2) ? f (0) D. 2 f (0) ? f (1)

9.如图:正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1, E, F 分别是棱

D1

C1

A1B1, CD 的中点,点 M 是 EF 的动点, FM ? x ,过点 M 、 A1

E

B1

直线 AB 的*面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体

M

积为V (x) ,则函数V (x) 的大致图像是

D

F

C

y

y

y

1

1

1

A

B

y

1

1

1

1

1

2

x2

x2

x

2

x

O

2

2

O

2

2

O

2

2

2

2

2

O

2

2

2

A

B

C

D

10.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b ? 0) 的左焦点 F(?c, 0) (c

? 0) ,作圆 x2

?

y2

?

a2 4

的切

线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OP ? 2OE ?OF ,则双曲线的离心率


A. 10

B. 10 5

C. 10 2

D. 2

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2014 届南昌市高三第一次模拟考试 文科数学 第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效.
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
11.若不等式 x2 ? 2x ? 2 ? a ? 2 对于一切实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是______.
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12.已知角? (?? ? ? ? 0) 的终边与单位圆交点的横坐标是 1 ,则 cos(? ? ? ) 的值是___.

3

2

13.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是__________.

开始

n ?1,S ? 0

S ? S ? cosn? 3



n ? 2014

输出 结束



n ? n?1

14.观察下列等式

23 ? 3 ? 5,33 ? 7 ? 9 ?11, 43 ? 13 ?15 ?17 ?19,53 ? 21? 23 ? 25 ? 27 ? 29, ,若类似

上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最后一个数是109 ,则正整数 m 等于____.

15.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,
点 B 恰好经过原点.设顶点 P? x, y? 的轨迹方程是

y C

y ? f (x) ,则对函数 y ? f (x) 有下列判断:①函数 P

B

y ? f (x) 是 偶 函 数 ; ② 对 任 意 的 x ?R , 都 有

f ( x? 2)? f (x? 2;) ③函数 y ? f (x) 在区间[2,3]

A

O

x

上单调递减;④函数 y ? f (x) 在区间[4, 6] 上是减函数.其中判断正确的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分)

某公司生产产品 A,产品质量按测试指标分为:指标大于或等于 90 为一等品,大于或等于 80

小于 90 为二等品,小于 80 为三等品,生产一件一等品可盈利 50 元,生产一件二等品可盈 利 30 元,生产一件三等品亏损 10 元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各
100 件进行检测,检测结果统计如下:

测试指标 [70, 75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)



3

7

20

40

20

10



5

15

35

35

7

3

根据上表统计得到甲、乙两人生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他 们生产产品 A 为一等品、二等品、三等品的概率.

(1)计算甲生产一件产品 A,给工厂带来盈利不小于 30 元的概率;

(2)若甲一天能生产 20 件产品 A,乙一天能生产 15 件产品 A,估计甲乙两人一天生产的 35 件产品 A 中三等品的件数.

17.(本小题满分 12 分)

已知公比不为1的等比数列{an}的首项 a1

?

1 2

,前

n

项和为

S

n

,且

a4

?

S4

,

a5

? S5 , a6

? S6

成等差数列.

(1)求等比数列 {an } 的通项公式;

(2)对 n ? N? ,在 an 与 an?1 之间插入 3n 个数,使这 3n ? 2 个数成等差数列,记插入的这 3n 个数的和为 bn ,求数列{bn}的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分)

如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6 ,点 E, F 分别在边 AB, AD 上, AE ? AF ? 4 ,现将△

AEF 沿线段 EF 折起到△ A' EF 位置,使得 A'C ? 2 6 .

A?

(1)求五棱锥 A'? BCDFE 的体积;

D

C

(2 )在线段 A'C 上是否存在一点 M ,使得 BM // *面

F

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A' EF ?若存在,求 A' M ;若不存在,说明理由.

19.(本小题满分 12 分)

如图已知 △ABC 中,AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 120? ,点 M 是边 BC 上的动点,动点 N 满

足 ?MAN ? 30? (点 A, M , N 按逆时针方向排列).

A

(1)若 AN ? 2AC ,求 BN 的长;

(2)若 AM ? AN ? 3 ,求△ ABN 面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分)

B

N MC

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F

,左、右顶点分别为 A, B ,过点 F

且倾斜

角为 ? 的直线 l 交椭圆于 C, D 两点,椭圆 C 的离心率为 3 , AC ? AD ? BC ? BD ? ? 32 3 .

4

2

5

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若 P1, P2 是椭圆上不同两点, P1, P2 ? x 轴,圆 R 过点 P1, P2 ,且椭圆上任意一点都不

在圆 R 内,则称圆 R 为该椭圆的内切圆.问椭圆 C 是否存在过点 F 的内切圆?若存在,求

出点 R 的坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? sin x ? ax ? bx cos x (a ? R,b ? R) . (1)若 b ? 0 ,讨论函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上的单调性;

(2)若 a ? 2b 且 a ? 2 ,对任意的 x ? 0 ,试比较 f (x) 与 0 的大小. 3

2014 届南昌市高三二模考试文科数学参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

D

B

C

D

B

A

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

11. (1,3)

12. 2 2 3

13. ? 3 14. 10 15.①②④ 2

三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.

16.解:(1)甲生产一件产品 A,给工厂带来盈利不小于 30 元的概率为:

P1

?

1?

1 10

?

9 10

……………………………………………………………………………6



(2)估计甲一天生产的 20 件产品 A 中有 20? 1 ? 2 件三等品,………………………8 分 10

估计乙一天生产的 15 件产品 A 中有15? 2 ? 3 件三等品,……………………………10 分 10
所以估计甲乙两人一天生产的 35 件产品 A 中共有 5 件三等品.………………………12 分

17.解:(1)因为 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列,

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所以 a5 ? S5 ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 ? a5 ? S5 ,………………………………………………2 分



2a6

? 3a5

?

a4

?

0 ,所以

2q2

?

3q

?1

?

0

,因为 q

? 1,所以

q

?

1 2

,……………4



所以等比数列{an}的通项公式为 an

?

1 2n

;………………………………………………6



(2) bn

?

an

? an?1 2

? 3n

?

3 4

( 3 )n 2

,………………………………………………………9



Tn

?

3 4

3 2

? ( 3)n?1 2
1? 3

?

9 [( 3)n 42

? 1] .………………………………………………………12



2

18.解(1)连接 AC ,设 AC ? EF ? H ,

由 ABCD是正方形, AE ? AF ? 4,

得 H 是 EF 的中点,且 EF ? AH, EF ? CH ,从而有 A' H ? EF,CH ? EF ,

所以 EF ? *面 A' HC ,从而*面 A' HC ? *面 ABCD ,…………………………… 2 分

过点 A' 作 A'O 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O ,则 A'O ? *面 ABCD ………………3 分

因为正方形 ABCD的边长为 6 , AE ? AF ? 4,

A?

得到: A' H ? 2 2,CH ? 4 2 , 所以 cos ?A' HC ? 8 ? 32 ? 24 ? 1 ,
2?2 2?4 2 2 所以 HO ? A' H ? cos ?A ' HC ? 2, A'O ? 6

D
F O
AH E

C B

所以五棱锥 A'? BCDFE 的体积 v ? 1 ? (62 ? 1 ? 4? 4) ? 6 ? 28 6 ;………………6 分

3

2

3

(2)线段 A'C 上存在点 M ,使得 A' M // *面 A' EF , A' M ? 6 .……………7 分 2

证明: A' M ? 6 ? 1 A'C , HO ? 1 HC ,

24

4

所以 OM // A' H ,所以 OM // *面 A' EF ,……………………………………………9 分

又 BD // EF ,所以 BD // *面 A' EF ,…………………………………………………10 分

所以*面 MBD // *面 A' EF , …………………………………………………………11 分

由 BM 在*面 MBD 内,所以 BM // *面 A' EF .……………………………………12 分

19.解:(1)由 AN ? 2AC ,得点 N 在射线 AC 上, AN ? 4 ,

BN 2 ? 1?16 ? 2?1? 4? cos120? ? 21,即 BN ? 21 ;……………………………5 分

(2)设 ?BAM ?x ,则 ?CAM ?120? ? x ,因为△ABC 的面积等于△ ABM 与△ ACM

面积的和,所以 1 ? AB ? AM ?sin x ? 1 ? AC ? AM ?sin(120? ? x) ? 1 ? AB ? AC ?sin120? ,

2

2

2

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得: AM ?

3

,………………………………………………………7 分

2(sin x ? 3 cos x)

又 ?MAN ? 30?, AM ? AN ? 3 ,所以 AM ? AN ?cos30? ? 3 ,即 AN ? 4sin x ? 2 3 cos x ,

所以△ ABN 的面积 S ? 1 ?(4sin x ? 2 3 cos x) ?sin(x ? 30?) ? 3 sin2 x ? 3 cos2 x ? 5 sin x cos x

2

2

2

即 S ? 5 sin 2x ? 3 cos 2x ? 3 3 ? 2 7 sin(2x ??) ? 3 3 ………………………10 分

4

4

44

4

(其中: sin? ? 3 , cos? ? 5 ,? 为锐角),

27

27

所以当 2x ?? ? 90? 时,△ ABN 的面积最大,最大值是 2 7 ? 3 3 .………………12 分 4

20.解:(1)因为离心率为 3 ,所以 a ? 2b, c ? 3b , 2

所以椭圆方程可化为:

x2 4b2

?

y2 b2

? 1,直线 l 的方程为

y

?

x?

3b ,………………2 分

? x2 y2

由方程组

? ?

4b

2

? b2

?

1
,得:

x2

?

4( x

?

?? y ? x ? 3b

3b)2 ? 4b2 ,即 5x2 ? 8 3bx ? 8b2 ? 0 ,…4 分

设 C(x1,

y1 ),

D(x2 ,

y2 )

,则

x1

?

x2

?

?

83 5

b

,………………………………………5



又 AC ? AD ? BC ? BD ? (x1 ? a, y1)?(x2 ? a, y2) ? (x1 ? a, y1)?(x2 ? a, y2) ? 2a(x1 ? x2) ,

所以 4b ? (? 8 3 b) ? ? 32 3 ,所以 b ?1,椭圆方程是 x2 ? y2 ? 1;………………7 分

5

5

4

(2)由椭圆的对称性,可以设 P1(m, n), P2 (m, ?n) ,点 R 在 x 轴上,设点 R(t, 0) , 则圆 R 的方程为: (x ? t)2 ? y2 ? (m ? t)2 ? n2 ,

由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 R 距离的最小值是 | P1R |, 设点 M (x, y) 是椭圆 C 上任意一点,则| MR |2 ? (x ? t)2 ? y2 ? 3 x2 ? 2tx ? t2 ?1 ,…9 分
4

当 x ? m 时,| MR |2 最小,所以 m ? ? ?2t ? 4t ①……………………………………10 分 33

2

又圆 R 过点 F ,所以 (? 3 ? t)2 ? (m ? t)2 ? n2 ②……………………………………11 分

点 P1 在椭圆上,所以 n2

?1? m2 4



……………………………………………………12 分

由①②③解得: t ? ? 3 或 t ? ? 3 , 2

又 t ? ? 3 时, m ? ?4 3 ? ?2 ,不合, 3

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综上:椭圆 C 存在符合条件的内切圆,点 R 的坐标是 (? 3 , 0) .……………………13 分 2
21.解:(1) b ? 0 时, f (x) ? sin x ? ax ,则 f '(x) ? cos x ? a ,……………………2 分

当 a ?1时, f '(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上单调递减;…………………3 分

当 a ? ?1 时, f '(x) ? 0 ,所以函数 f (x) 在区间 (0,? ) 上单调递增;……………… 4 分

当 ?1? a ?1时,存在? ?(0,? ) ,使得 cos? ? a ,即 f (?) ? 0 ,

x ? (0,?) 时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (0,?) 上单调递增, ……………………5 分

x ?(?,? ) 时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (?,? ) 上单调递减. ……………………6 分

(2) a ? 2b 时, f (x) ? sin x ? a x(2 ? cos x) ,猜测 f (x) ? 0 恒成立,……………7 分 2

证明: f (x) ? 0等价于 sin x ? a x , 2 ? cos x 2

记 g(x) ? sin x ? a x ,则 2 ? cos x 2

g

'( x)

?

2 cos x ?1 (2 ? cos x)2

?

a 2

?

?3( 2

?

1 cos

x

?

1)2 3

?

a 2

?

1 3

,……………………………10



当 a ? 1 ,即 a ? 2 时, g '(x) ? 0 , g(x) 在区间 (0, ??) 上单调递减,……………12 分

23

3

所以当 x ? 0 时, g(x) ? g(0) ? 0 ,即 f (x) ? 0 恒成立;……………………………14 分

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