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江西省兴国县将军中学2013-2014学年高二下学期第一次考试数学(文)试题 Word版含答案_图文

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江西省兴国县将军中学 2013-2014 学年高二下学期第一次考

试数学(文)试题

满分:150 分

考试时间:120 分钟

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一个正确.每小题 5 分,共 50 分)

1.设 z ? 1? i ( i 是虚数单位),则 1 ? z

()

A. 1 ? 1 i 22

B. 1 ? 1 i 22

C. 1 ? 3 i 22

D. 1 ? 3 i 22

2.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,x∈A},则 A∩B=

()

A.{1,4}

B.{2,3}

C.{9,16} D.{1,2}

3.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的

()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.下列各组函数中, f (x) 与 g(x) 是否表示同一函数为

()

① f (x) ? ln x, g(x) ? 1 ln x2 2
③ f (x) ? ln ex , g(x) ? eln x

A.①④

B.③④

② f (x) ? x, g(x) ? x2



f

(x)

?

log 1
2

x,

g(x)

?

log2

1 x

C.④

D.③

5.函数 y ? log1 (3x ? 2) 的定义域是

2

A .[1, ??)

B . ( 2 , ??) 3

C.[ 2 ,1] D. ( 2 ,1]

3

3

6.已知函数 f (x) 使得 3 f (x ?1) ? f (1? x) ? 2x ?1成立,则 f (x) = (

() )

A. f (x) ? 2x B. f (x) ? 1 x C. f (x) ? 1 x ? 1

2

22

D. f (x) ? 1 x ? 1 22

7.已知命题p:?x?R,使sinx? 5;命题q:?x?R,都有x2?x?1?0. R,p:?x?R,使sinx? 5;命题q:?x?R,都有x2?x?1?0.p:?x?R,使sinx? 5;命题q:?x?R,都有x2?x?1?0.R,p:?x?R,使sinx? 5;命题q:?x?R,都有x2 ?x?1?0.给出下列结论:

2

2

2

2

①命题“ p ? q ”是真命题

②命题“ p ? ?q ”是假命题

③命题“ ?p ? q ”是真命题 ④命题“ ?p ? ?q ”是假命题,

其中正确的是

A.②④

B.②③

C.③④

8.命题“ ?(x, y), x, y ? R, 2x ? 3y ? 3 ? 0 ”的否定是

() D.①②③
()

A. ?(x, y), x, y ? R, 2x ? 3y ? 3 ? 0

B. ?(x, y), x, y ? RR, 2x ? 3y ? 3 ? 0

C. ?(x, y), x ? R, y ? R, 2x ? 3y ? 3 ? 0 D. ?(x, y), x ? R, y ? R, 2x ? 3y ? 3 ? 0

9.函数 f (x) ? log1 (?x2 ? 2x ?15) 的单调递增区间为

3

A. (??,1]

B.[1, ??) C.[1,5]

D. [1, 5)

()

10. f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R 总有 f(x+32)=-f(x),则 f(-92)的值为( )

A.0

B.3

3 C.2

D.-92

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上)

11.已知 f(2x-1)的定义域为(-1,5],求函数 f(x)的定义域



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12.若100a ? 5, 10b ? 2 ,则 2a ? b =



13.函数 f (x) ? 32 ? 2x2 ?4x?7 的单调递增区间为



14.若 f (x) ? 3|x| (x∈[a,b])的值域为[1,9],则 b-a 的取值范围是______.

15.下列说法:

①命题“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”;

②函数 f (x) ? (m2 ? m ?1)x m 是幂函数,且在 x ? (0,??) 上为增函数,则 m ? 2 ;

③命题“函数 f (x) 在 x ? x0 处有极值,则 f '(x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;

④函数 y ? tan(2x ? ? ) 在区间 (? ? , ? ) 上单调递增;

6

3 12

⑤“ log2 x ? log3 x ”是“ 2 x ? 3x ”成立的充要条件。

其中说法正确的序号是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)

16(本小题满分 12 分)
已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10}, C ? {x | x ? a}.
(Ⅰ)求 A ? B; CR A ? B ; (Ⅱ)若 A ? C ? ?,求a 的取值范围.

18(本小题满分 12 分)命题 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0(其中 a ? 0 ),命题 q : 实数 x 满

?| x ?1|? 2,



? ? ??

x x

? ?

3 2

?

0.

(Ⅰ)若 a ? 1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;

(Ⅱ)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

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19.(本小题满分

12

分)已知函数

f

?x?

?1?

a

?

? ??

1 2

x
? ??

?

? ??

1 4

x
? ??



(I)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 在 ???,0? 上的值域;

(II)若对任意 x ??0, ??? ,总有 f (x) ? 3 成立,求实数 a 的取值范围;

20(本小题满分 13 分) f (x) 是定义在 (0, ??) ,对于任意 x ? 1 都有 f (x) ? 0 ,且 f ( x ) ? f (x) ? f (y)
y (I)求证 f (x) 在定义域 (0, ??) 为增函数. (II)若 f (6) ? 1,解不等式 f (x ? 3) ? f ( 1 ) ? 2
x

21(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0? 满足 f ?0? ? 0 ,对于任意 x ?R

都有 f ? x? ? x ,且

f

? ??

?

1 2

?

x

? ??

?

f

? ??

?

1 2

?

x

? ??

,令

g

?

x?

?

f

?x??

?x ?1 ??

? 0?.

(I)求函数 f ? x? 的表达式;

(II)求函数 g ? x? 的单调区间;

(Ⅲ)研究函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上的零点个数.

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2013-2014 学年度下学期第一次考试 高二数学(文)参考答案

一.选择题:BAACD CBCDA 二。填空题:
11. (?3,9] ; 12.1; 13.[?2, 2] ; 14.[2, 4] ;
三.解答题
16.解(1)A B= (2,10) ; CR A B ? (2,3) [7, ??) ; (2)当 A C ? ? 时; a ? (??,3] 。

15.①②④

17.解∵ f (x) 在 (0, ??) 上为减函数,∴ m2 ? 2m ? 3 ? 0 得 ?1 ? m ? 3 ,又 m ? N? ∴ m ? 0,1, 2 ,又 m2 ? 2m ? 3 为偶数,∴ m ? 1

∴?a

? ?1

?m 3

?

?3?

? 2a

?m 3

即为 ?a

? ?1

?1 3

?

?

3

?

2a

??

1 3

∴ a ?1 ? 3 ? 2a ,得 a ? 2 3
18.解(Ⅰ)由 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 得 (x ? 3a)(x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .



??| x ?1|?

? ??

x x

? ?

3 2

?

2, 0,



??1 ? x ? 3,

? ?

x

?

?3或x

?

2,

解得

2

?

x

?

3



即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 4 分

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 (2,3) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 p: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a ,

q: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 , 10 分

?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ?p ? ?q ,且 ?q ?? ?p ,



?0 ? a ? ??3a ? 3,

2,

解得1

?

a

?

2

,故实数

a

的取值范围是

(1,

2]



19.解(1)当 a ? 1 时, f (x) ? (1)x ? ( 1)x ?1在 (??, 0) 为减函数 42
∴ f (x) ? f (0) ? 3 ,∴值域为 (3, ??)

(2)∵| f (x) |?| (1)x ? a(1)x ?1|? 3 ,令 t ? (1)x ? (0,1]

4

2

2

即有 ?3 ? t2 ? at ?1 ? 3 ? ?(t ? 4) ? a ? ?t ? 2

t

t

当 t ? (0,1]时, (?t

?

4 t )max

?

?5 , (?t

?

2 t )min

?1

所以有: a ?[?5,1]

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20.解(1)任取 x1, x2 ? (0, ??) ,且 x1

?

x2 ,则

x2 x1

?1,

f ( x2 ) ? 0 x1



f

( x) ? y

f (x) ?

f (y) ,



f

(x2 ) ?

f

(x1) ?

f ( x2 ) ? 0 x1

即有 f (x1) ? f (x2 ) ,所以 f (x) 在定义域 (0, ??) 为增函数.

(2)∵ f (6) ? 1,而 f (6) ? f (36) ? f (36) ? f (6) ,∴ f (36) ? 2 f (6) ? 2 6



f

(x ? 3) ?

f

(1) ? x

2

等价于

? ? ?

f x

(x(x ? 3)) ?0

?

f

(36)

?

?x2 ? 3x ? 36 ? 0 ? ?x ? 0

从而得不等式的解集为:{x | 0 ? x ? ?3 ? 3 17 } 2



? ??

1 ?

,

?

? 2

1

? ??

上单调递减.

② 当 x ? 1 时,函数 g ? x? ? x2 ? ?1 ? ? ? x ?1的对称轴为 x ? ? 1? ? ? 1 ,

?

2?

则函数

g

?

x?



? ??

?

1

?? 2

,

1 ?

? ??

上单调递增,在

? ??

??,

?

1

?? 2

? ??

上单调递减.

综上所述,当

0

?

?

?

2

时,函数

g

?

x?

单调递增区间为

? ??

?

1

?? 2

,

??

? ??



单调递减区间为

? ??

??,

?

1

?? 2

? ??





?

?

2

时,函数

g

?

x?

单调递增区间为

? ??

?

1? ? 2

,

1 ?

? ??



? ??

?

?1, 2

??

? ??



单调递减区间为

? ??

??,

?

1

?? 2

? ??



? ??

1 ?

,

?

?1 2

? ??



(3)解:① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上单调递增,

又 g ?0? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ,故函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上只有一个零点.

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当?

?

2 时,则

1 ?

?

1 2

? 1,而 g ?0?

?

?1 ?

0,

g

? ??

1 ?

? ??

?

1 ?2

?

1 ?

? 0 ,g ?1?

?

2?

?

?1



(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于 1 ? ? ?1 ? 1 , ?2



g

? ??

?

? 2

1

? ??

?

? ? ?1?2 ?? 2 ??

? ?1? ? ?

? ?1?1 2

?

??
?

? 1?2
4

?1?

0,

此时,函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上只有一个零点;

(ⅱ)若 ? ? 3 ,由于 ? ?1 ? 1且 g ?1? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ,此时,函数 g ? x? 在区间 ?0,1?
2
上有两个不同的零点.
综上所述,当 0 ? ? ? 3 时,函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上只有一个零点;

当 ? ? 3 时,函数 g ? x? 在区间 ?0,1? 上有两个不同的零点.

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