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江西省兴国县将军中学2013-2014学年高二下学期第一次考试数学(理)试题 Word版含答案

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江西省兴国县将军中学 2013-2014 学年高二下学期第一次考

试数学(理)试题

满分:150 分

考试时间:120 分钟

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一个正确.每小题 5 分,共 50 分)

1.复数 z ? 3 ? 3 ? 4i ,则 z 等于 4 ? 3i

()

A. 3 ? i

B. 3 ? i

C. 4 ? i

D. 4 ? i

2.已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是

()
A.p∧q B.p∧ ? q

C. ? p∧q D. ?p∧ ? q

3.若函数 f (x) ? 2x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,

则实数 k 的取值范围是

()

A.[1,+∞)

B.[1,32)

C.[1,2)

D.[32,2)

4. 下列四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是

()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

5.已知 a 、 b 是异面直线, a ? *面? , b ? *面 ? ,则? 、 ? 的位置关系是 ( )

A.相交

B.*行

C.重合

D.不能确定

6.设椭圆的两个焦点分别为 F 1 ,F 2 ,过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F 1 F 2 P 为

等腰直角三角形,则椭圆的离心率为

()

A. 2 2

B. 2 ? 1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ?1

7.如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水*放置的一个*

面图形的直观图,则原图形的周长是

()

A.6

B.8

C.2+3 2

D.2+2 3

8.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c

三向量共面,则实数 λ 等于

A.672

B.673

C.670

D.675

()

x2 9.设离心率为 e 的双曲线 C: a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,

且斜率为 k ,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )

A. k 2 ? e2 ? 1 B. k 2 ? e2 ? 1 C. e2 ? k 2 ? 1

D. e2 ? k 2 ? 1

10.已知正三棱锥 P—ABC 的高 PO 的长为 h ,点 D 为侧棱 PC 的中点,PO 与 BD 所成

角的余弦值为 2 ,则正三棱锥 P—ABC 的体积为 3

()

A. 3 3 h3 8

B. 2 3 h3 8

C. 3 h3 8

D. 3 3 h3 4

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上)

? 11.计算定积分 1(ex ? 2x)dx 的值为 0



12.如图:长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=3,

AD=AA 1 =2,E 为 AB 上一点,且 AE=2EB,F

为 CC 1 的中点,P 为 C 1 D 1 上动点,当 EF⊥CP 时,

PC 1 =



13.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心

的距离为球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,则球的表面积为

.

14.已知 a,b,l 表示三条不同的直线,? , ? ,? 表示三个不同的*面,有下列四个命题:

①若? ? ? a , ? ? ? b ,且 a / /b ,则? / /? ;

②若 a,b 相交,且都在?, ? 外, a / /?, a / /? ,b / /?,b / /? ,则? / /? ;

③若? ? ? ,? ? ? a,b ? ? , a ? b ,则 b ? ? ;

④若 a ? ?,b ? ?,l ? a,l ? b ,则 l ? ? 。

其中正确命题的序号是



三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本 题5分
15.(1)在*面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程



?x

? ?

y

? ?

t?2 2?t

(参数

t

?

R

),圆

C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2 cos? 2 sin ?

?

2

(参数?

?[0,

2?

)

),直线

l 交圆 C 于 A、B 两点,则| AB |?

.

(2)不等式| x ?1| ? | x ? 2 |? a ? 2 , (a ? 1) 的解集不是空集,则实数 a 的最小值为 a

四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)

16 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( c o sx ?, 1n) ,? ( 3 sxi n ,2c ox s, 设) 函 数

2

2

2

f (x) ? m ? n +1

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(Ⅰ)若 x ?[0, ? ] , f (x) ? 11 ,求 cos x 的值;

2

10

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ?

的取值范围.

3a ,求 f (B)

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17.(本小题满分 12 分)如图四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD, 其中 BC=2AB=2PA=6,M、N 为侧棱 PC 上的三等分点。 (Ⅰ)证明:AN∥*面 MBD; (Ⅱ)求三棱锥 N—MBD 的体积。

18(本小题满分 12 分)斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长为 a ,侧棱与底面所成的角为 60o,

且侧面 ABB1A1 垂直于底面。

C1

(Ⅰ)判断 B1C 与 AC1 是否垂直,并证明你的结论;

(Ⅱ)求三棱柱的全面积。

B1

A1

C

B

A

19(本小题满分 12 分)如下图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90°, AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(Ⅰ)求异面直线 AD1 与 BD 所成的角的余弦值; (Ⅱ)求直线 B1C1 与*面 ACD1 所成角的正弦值.

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20(本小题满分 13 分)设椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线:x2=4 2y 的 焦点重合,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率 e= 33,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l,使得O→M·O→N=-1,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明 理由.
21 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? bx 2 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x? y?1? 0.
(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)若 f ( x) 满足 f ( x) ? g( x) 恒成立,则称 f ( x) 是 g( x) 的一个“上界函数”,如果函
数 f ( x) 为 g( x) ? t ? ln x ( t ?R)的一个“上界函数”,求 t 的取值范围; x
(Ⅲ)当 m ? 0 时,讨论 F ( x) ? f ( x) ? x 2 ? m 2 ? 1 x 在区间(0,2)上极值点的个数. 2m
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高二数学(理)参考答案

一.选择题:BCBDA DBDCC 二.填空题

11. e ; 12.2;

13. 64 ? ; 9

三.选做题:(1) 2 2 ; (2)2。
四.解答题

14.②③

16.解:(1) f (x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ?1 ? 3 sin x ? 1 cos x ? 1

22

2

2

2

2

? sin(x ? ? ) ? 1 ,∵ f (x) ? 11 ,∴ sin(x ? ? ) ? 3 ;

62

10

65

又∵ x ?[0, ? ] ,∴ x ? ? ?[? ? , ? ] ,即 cos(x ? ? ) ? 4

2

6 63

65

?cos x ? cos[(x ? ? ) ? ? ] ? cos(x ? ? ) cos ? ? sin(x ? ? ) sin ? ? 4 3 ? 3

66

66

6 6 10 10

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得 2sin B cos A ? 2sin C ? 3 sin A

可得 2sin B cos A ? 2sin( A ? B) ? 3 sin A

2sin Acos B ? 3 sin A ? cos B ? 3 ? B ? (0, ? ]

2

6

∴ sin(B ? ? ) ?(? 1 , 0] ,即 f (B) ? sin(B ? ? ) ? 1 ? f (B) ?(0, 1]

62

62

2

∴ S全 ? 2S底 ? S侧 ? 2 ?

3 a2 ? 4

3 ? 15 a2 ? 2 3 ?

2

2

15 a2

19.解:(1)易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图 2,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在

直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.

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设 AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),
D1(0,3,3).从而 B1D =(-t,3,-3), AC =

(t,1,0), BD =(-t,3,0).

因为 AC⊥BD,所以 AC ·BD =-t2+3
=0.
解得 t= 3或 t=- 3(舍去).

+0

∴ BD = (? 3,3, 0) ,而 AD1 ? (0,3,3)

cos

BD, AD1

? BD AD1 | BD | | AD1 |

? 9 ?6 2 3?3 2 4

于是 B1D =(- 3,3,-3), AC =( 3,1,0).

(2)由(1)知, AD1 =(0,3,3), AC =( 3,1,0), B1C1 =(0,1,0).
设 n=(x,y,z)是*面 ACD1 的一个法向量,则

??n·A→C=0, ???n·A→D1=0,

即???3y3+x+3zy==00., 令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).

设直线 B1C1 与*面 ACD1 所成角为 θ,则 →

sinθ=|cos〈n, B1C1

〉|=|

n·B1C1 →

|=

3= 7

21 7.

|n|·|B1C1|

即直线 B1C1 与*面 ACD1 所成角的正弦值为 721.

20.解 (1)椭圆的顶点为(0, 2),即 b= 2.e=ac= 的标准方程为x32+y22=1.

1-ba22= 33,解得 a= 3,∴椭圆

(2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.

②设存在直线 l 为 y=k(x-1),且 M(x1,y1),N(x2,y2),

由???x32+y22=1,

得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.

??y=k x-

x1+x2=2+6k32k2,x1·x2=32k+2-3k62,

O→M·O→N=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=32k+2-3k62+k2???32k+2-3k62-2+6k32k2+1???=-2+k23-k26=-1.

所以 k=± 2,故直线 l 的方程为 y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1).

21、(1)a=1 b=0

3分

(2)∵ ln x ? t ? ln x 恒成立 ∴ t ? 2x ln x 恒成立, 令h(x) ? 2x ln x, x

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则h?(x) ? 2 ? 2ln x , 令h?(x) ? 0,则x ? 1 , e

∴ h(x) 的最小值为 h(1) ? ? 2 ,∴ t ? ? 2

ee

e

∴当 0 ? x ? 1时, h?(x) ? 0 , e
8分

(3) F ?(x) ? x ? 1 ? m2 ? 1 ? (x ? m)(mx ?1) ,令 F(x) =0,得 x ? m或x ? 1

xm

mx

m

当 0 ? m ? 1 时, 1 ? 2 , x ? m 为 F(x) 在区间(0,2)上的极大值点 2m

当 1 ? m ? 1时,1 ? 1 ? 2 , x ? m和x ? 1 为 F(x) 在区间(0,2)上的极值点

2

m

m

当 m ? 1时, F(x) 在区间(0,2)上无极值点

当1 ? m ? 2时, 1 ? 1 ? 1, x ? m和x ? 1 为 F(x) 在区间(0,2)上的极值点

2m

m

当 m ? 2 时, 1 ? 1 , x ? 1 为 F(x) 在区间(0,2)上的极大值点

m2

m

当 m ? 2 时, 0 ? 1 ? 1 , x ? 1 为 F(x) 在区间(0,2)上的极大值点

m2

m

由以上可知:当 1 ? m ? 1或1 ? m ? 2 时, F(x) 在区间(0,2)上有两个极值点 2

当 0 ? m ? 1 或 m ? 2 时, F(x) 在区间(0,2)上有一个极值点; 2

当 m ? 1时, F(x) 在区间(0,2)上无极值点

14 分

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